De la validité des formules booléennes quantifiées : étude de complexité et exploitation de classes traitables au sein d'un prouveur QBF

On the validity problem for quantified boolean formulae : complexity analysis and exploitation of polynomial classes within a QBF solver

• Auteur / Autrice : Florian Letombe
• Direction : Pierre Marquis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Artois

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Calcul des propositions

Fonctions booléennes

Complexité de calcul (informatique)

Résumé

Cette thèse est centrée sur le problème QBF de décision de la validité des formules booléennes quantifiées : étant donnée une formule de la forme Σ = ∀y1 Ǝx1. . . ∀yn Ǝxn. ø où ø est une formule propositionnelle construite sur {x1, y1,. . . , xn, yn} (la matrice de Σ), il s’agit de déterminer si pour toute affectation d’une valeur de vérité à y1 dans ø, il existe une affectation d’une valeur de vérité à x1 dans ø,. . . , pour toute affectation d’une valeur de vérité à yn dans ø, il existe une affectation d’une valeur de vérité à xn dans ø qui rend ø valide. Le problème QBF est calculatoirement difficile (PSPACE-complet). Il importe donc de mettre en évidence des cas particuliers où sa résolution pratique est envisageable. Dans cette thèse, nous avons considéré des restrictions de QBF portant sur la matrice des instances. Notre objectif principal était double : (1) identifier la complexité de QBF pour des restrictions non considérées jusqu’ici et (2) explorer dans quelle mesure les classes polynomiales pour QBF peuvent être exploitées au sein d’un prouveur QBF général afin d’améliorer son efficacité. Concernant le premier point, nous avons montré que QBF restreint aux fragments cibles pour la compilation de « connaissances » étudiés dans (Darwiche & Marquis 2002), qui sont traitables pour SAT, reste PSPACE-complet et donc intraitable en pratique. Nous avons également mis en évidence le lien étroit qui existe entre notre étude et le problème de compilabilité de QBF. Concernant le second point, nous avons décrit une nouvelle heuristique de branchement Δ visant à promouvoir la génération de formules Horn renommables quantifiées durant le parcours de l’arbre de recherche effectué par une procédure de type Q-DPLL pour QBF. Les résultats expérimentaux présentés montrent qu’en pratique, hormis notre prouveur Qbfl, les prouveurs QBF actuels ne sont pas capables de résoudre facilement les instances Horn quantifiées ou Horn renommables quantifiées ; ceci suffit à justifier l’intérêt de l’approche suivie. Les résultats obtenus montrent également que, muni de l’heuristique Δ, Qbfl améliore significativement ses performances sur certains types d’instances, même s’il obtient des résultats moyens en général, comparé aux autres prouveurs QBF actuels.

This thesis is centered on QBF, the validity problem for quantified Boolean formulae: given a formula of the form Σ = ∀y1 Ǝx1. . . ∀yn Ǝxn. ø where ø is a propositional formula built on {x1, y1,. . . , xn, yn} (the matrix of Σ), is it the case that for each assignment of a truth value to y1 in ø, there exists an assignment of a truth value to x1 in ø,. . . , for each assignment of a truth value to yn in ø, there exists an assignment of a truth value to xn in ø that makes ø valid ? Since QBF is computationally hard (PSPACE-complete), it is important to point out some specific cases for which the practical solving of QBF could be achieved. In this thesis, we have considered some restrictions of QBF based on the matrices of instances. Our main purpose was (1) to identify the complexity of QBF for some restrictions not considered so far and (2) to explore how to take advantage of polynomial classes for QBF within a general QBF solver in order to increase its efficiency. As to the first point, we have shown that QBF, when restricted to the target fragments for knowledge compilation studied in (Darwiche & Marquis 2002), remain typically PSPACE-complete. We have shown a close connexion between this study and the compilability issue for QBF. As to the second point, we have presented a new branching heuristics Δ which aims at promoting the generation of quantified renamable Horn formulae into the search-tree developed by a Q-DPLL procedure for QBF. We have obtained experimental results showing that, in practice, state-of-the-art QBF solvers, except our solver Qbfl, are unable to solve quantified Horn instances or quantified renamable Horn instances of medium size. This observation is sufficient to show the interest of our approach. Our experiments have also shown the heuristics Δ to improve the efficiency of Qbfl, even if this solver does not appear as one of the best QBF solvers at this time.