Théorie des champs : approche multisymplectique de la quantification, théorie perturbative et application

Field theory : multisymplectic approach for quantization, perturbative theory and application

• Auteur / Autrice : Ramiaramanana Dikanaina Harrivel
• Direction : Vladimir Roubtsov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Angers
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Perturbation (théorie quantique)

Quantification géométrique

Champs, Théorie quantique relativiste des

Klein-Gordon, Équation de

Résumé

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein–Gordon couplée avec une interaction d’ordre p entier et la quantification de cette théorie du point de vue multisymplectique. La géométrie multisymplectique est un cadre général permettant de donner une formulation Hamiltonienne covariante et de dimension finie aux problèmes variationnels à plusieurs variables. Dans une première partie nous nous intéressons à l'équation de Klein–Gordon linéaire (théorie libre). Nous proposons une description exhaustive de la quantification canonique du champ libre dans le cadre multisymplectique. Nous développons trois points de vue sur cette construction : un point de vue algébrique par une représentation de l’algèbre de Lie des symétries, un point de vue par déformation et enfin une approche par la quantification géométrique. Dans une seconde partie nous traitons le cas du champ en interaction c’est à dire l'équation non–linéaire. Nous construisons dans un premier temps des observables qui sont des ”intégrales premières” pour les solutions classiques. Ceci aboutit de manière naturelle à des fonctionnellesdéfinies sur l’espace des solutions par des séries construites à l’aide des arbres plans et de certaines règles de Feynman. Nous explicitons ensuite le lien qui relie ces observables et les ”séries de Butcher” décrivant les solutions d’une équation aux dérivées partielles non linéaires et nous montrons comment nous pouvons retrouver le calcul perturbatif quantique à l’aide de ces séries. Enfin nous voyons comment les séries de Butcher peuvent s’appliquer en théorie du contrôle.

The main subject of this thesis is the study of the Klein-Gordon equation together with an interaction term and the quantization of this theory from the multisymplectic point of view. Multisymplectic geometry provides a general framework for a covariant finite dimensional Hamiltonian formulation of variational problems with several variables. In the first part we study the linear Klein-Gordon equation (free fields). We propose a description of the canonical quantization of free fiels from the multisymplectic point of view. We investigate three approachs : the algebraic approach by giving a representation of the Lie algebra of the symetries, the deformation point of view and finally we introduce a notion of multisymplectic geometric quantization. In the second part we study the classical Øp-theory. First we define explicitely a conserved quantity using a perturbative expansion based on planar trees and a kind of Feynman rule. Then we link this expansion with Butcher series which describe the perturbative expansion of the solutions of some PDE and we show how Butcher series can be related to perturbative quantum theory. Finally we see how we can apply our result in order to solve problems from control theory.