Contributions à l'étude de l'équation de Schrödinger : problème inverse en domaine borné et contrôle optimal bilinéaire d'une équation de Hartree-Fock

Contributions to the study of Schrödinger equation : inverse problem in a bounded domain and bilinear optimal control of Hartree-Fock equation

• Auteur / Autrice : Lucie Coline Baudouin
• Direction : Jean-Pierre Puel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hartree-Fock, Méthode d'approximation

Carleman, Méthode de

Commande, Théorie de la

Problèmes inverses (équations différentielles)

Schrödinger, Équation de

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques propriétés de l'équation d'évolution de Schrödinger. On s'intéresse d'une part en domaine borné au problème inverse de la détermination d'un potentiel indépendant du temps à partir de la mesure du flux de la solution à travers une partie du bord. D'autre part, on montre l'existence d'une unique solution régulière pour l'équation de Schrödinger avec potentiel coulombien, localement singulier, et potentiel électrique non-borné, avec une méthode de directions alternées. L'existence d'une solution pour un système couplant l'équation de Hartree-Fock correspondante avec une équation de la dynamique newtonienne est ensuite prouvée. Finalement on étudie les problèmes de contrôle optimal bilinéaire concernant ces dernières équations, le contrôle de la solution étant effectué par le potentiel électrique. On démontre l'existence d'un contrôle optimal et on définit la condition d'optimalité correspondante dans les cas appropriés.

This thesis deals with some properties of the time dependent Schrödinger equation. On the one hand, we study the inverse problem in a bounded domain of determining the potential from measurements of the normal derivative of the solution through a part of the boundary. On the other hand, we prove the existence of a unique solution of a Schrödinger equation with coulombian potential, locally singular, and electric unbounded potential, both depending on space and time variables. We then study the system coupling the corresponding Hartree-Fock equation with classical newtonian dynamics. Eventually, we consider bilinear optimal control problems of the solution of these last equations, the control being performed by the external electric potential. We prove the existence of optimal controls and give optimality conditions in the suitable cases.