Algorithmes du point intérieur pour l'optimisation en tomographie dynamique et en mécanique du contact

Interior point algorithms for optimization in dynamic tomography and mechanical contact

• Auteur / Autrice : Germain Tanoh
• Direction : Dominikus Noll
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Élasticité linéaire

Contraintes (mécanique)

Inégalités variationnelles

Tomographie

Mots clés libres

Optimisation

Problème de contact

Tomographie dynamique

Point intérieur

Pénalisation logarithmique

Problème inverse

Imagerie médicale

Inégalités variationnelles

Résumé

Dans cette thèse nous proposons quelques méthodes d'optimisation primales et primales-duales avec des applications en tomographie dynamique et en mécanique du contact dans le cadre de l'élasticité linéaire. Un algorithme primal-dual pour un problème inverse de tomographie dynamique est décrit. Ce problème fait intervenir des contraintes d'inégalités linéaires pour tenir compte de l'aspect dynamique de l'image. Sa résolution est effectuée par une méthode des régions de confiance adaptée aux problèmes mal posés. Compte tenu de la grande taille du problème, nous avons adopté des techniques itératives qui nécessitent seulement le résultat d'un produit matrice vecteur. Une méthode de Newton basée sur une pénalisation logarithmique est développée. Nous proposons une nouvelle méthode d'optimisation pour le problème de contact en ingénierie mécanique. Nous étudions quelques propriétés du problème pénalisé par une fonction barrière logarithmique et montrons que sa solution converge fortement. Une variante basée sur le Lagrangien augmenté est examinée. L'approche primale-duale exploite les techniques de lissage de Newton appliquées aux inéquations variationnelles issues du problème de contact. Dans le cas d'un problème avec frottement, le problème de contact est non différentiable. En appliquant la théorie de la dualité aux conditions de contact, un problème dual différentiable avec des contraintes d'inégalités quadratiques et linéaires est obtenu. Un algorithme de Newton primal-dual est proposé. Sa spécificité réside dans le traitement des contraintes quadratiques dans le cas d'un problème 3D. Notre méthode peut être considérée comme une extension des techniques d'optimisation de somme de normes euclidiennes. Notre étude comporte quelques résultats numériques.

In this thesis we propose some primal and primal-dual optimization methods with application in dynamic tomography and mechanical contact in the linear elasticity context. A primal-dual algorithm for an inverse problem in dynamic tomography is presented. This problem includes inequalities constraints because of the dynamic properties of the image. We solved it by using a trust region method adapted to ill behaved problems. Since the problem size is very large, we have used iterative techniques which need only a result of a matrix vector product. We have developed a Newton method based on a logarithmic penalty. We propose a new optimization method for contact problems in mechanical engineering. We study some properties of the penalized problem by logarithmic barrier function and show that its solution converges strongly. A variant based on the augmented Lagrangian is considered. The primal-dual approach uses a non smooth Newton technique applied to variational inequalities arising in contact problems. In the case of frictional contact problem, we have a non differentiable problem. Applying the duality theory to the contact conditions, we get a dual differentiable problem with quadratic and linear inequalities constraints. We propose a primal-dual Newton algorithm. It's specially oriented to the treatment of the quadratic constraints for a 3D problem. Our method can be view as an extension of the optimization techniques for the sum of Euclidean norm. Our study includes some numerical results.