Contribution à l'analyse mathématique de modèles stratigraphiques

Contribution to the mathematical analysis of stratigraphic models

• Auteur / Autrice : Damien Etienne
• Direction : Gérard Gagneux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles hyperboliques

Inclusions différentielles

Fonctions à variation bornée

Stratigraphie

Résumé

Ce travail a pour objet l'étude mathématique d'un modèle stratigraphique de formation de bassins géologiques par sédimentation avec érosion limitée. Pour réaliser cette condition d'érosion limitée, on est obligé d'ajuster un paramètre évolutif, limitateur de flux α dans le graphe maximal monotone associé à l'échelon de Heaviside de la fonction ðu/ðt + E, où E est une fonction positive. L'étude théorique comprend deux parties distinctes. D'abord, on présente des exemples d'estimation de connaissant la solution ư. On présente en particulier une méthode pour le cas de la dimension deux fondée sur l'utilisation de la fonction de courant. D'autres exemples montrent le caratère discontinu et dégénéré de α, et l'importance de la concavité de la condition initiale. La deuxième partie étudie une formulation variationnelle d'un type nouveau à caractère ''hyperbolique dégénéré'' englobant l'équation de continuité et la contrainte d'érosion limitée. Notre tentative de preuve de l'existence d'un couple-solution (α,ư) par semi-discrétisation en temps se heurte à la présence du produit de deux convergences faibles. Pour contourner cet obstacle, on étudie le modèle dans le cas de la dimension un en espace, ce qui nous permet de construire la solution sur des cas adaptés de conditions initiales. Le limitateur de flux α apparaît alors comme la fonction caractéristique d'un ensemble de périmètre fini. Nous concluons cette étude par la présentation de problèmes ouverts et de pistes de recherche.

This work deals with the study of a stratigraphic model for the building of geological basins with a weather-limited rate. In order to make the weather-limited rate possible, we have to regulate the parameter α in the maximal monotonous graph of the Heaviside function of ðu/ðt + E, where E is a positive function. The theoritical analysis is composed of two parts. First, we estimate thanks to the knowledge of the solution ư. We expose a solution for the 2-D case using the stream function. Other examples using a travelling wave method show us that α is degenerated and discontinuous and that we will have to take into account the convexity of the initial condition. The second part studies a new hyperbolic-degenerated formulation including the continuity equation and the weather-limited rate condition. One of our difficulties proving the existence of the solution (α,ư) is the presence of two weak-convergences. So, we treat the 1-D case which allows us to build the solution through suitable initial data. The study establishes that the flux limitator α is the indicator function of a set of finite perimeter. We conclude this study by presenting some open problems and research outlooks.