Calcul pseudodifférentiel et paradifférentiel pour l'étude de conditions aux limites absorbantes et de propriétés qualitatives d'équations aux dérivées partielles non linéaires

Pseudodifferential and paradifferential calculus for the study of absorbing boundary conditions and of qualitative properties of nonlinear partial differential equations

• Auteur / Autrice : Jérémie Szeftel
• Direction : Laurence Halpern
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dirichlet, Formes de

Schrödinger, Équation de

Opérateurs pseudo-différentiels

Équations aux dérivées partielles linéaires

Résumé

Nous construisons dans ce travail des conditions aux limites absorbantes pour des équations aux dérivées partielles non linéaires. Il s'agit d'une méthode permettant d'approcher les solutions de telles équations posées sur des domaines non bornés. La pertinence de ce travail est justifiée en particulier par l'intérêt pratique de telles méthodes et par l'absence de résultat pour les problèmes non linéaires dans la littérature scientifique jusqu'à présent. Dans un premier temps, nous construisons des conditions aux limites absorbantes pour l'équation de Schrödinger. Puis nous abordons les problèmes non linéaires et nous proposons deux méthodes: la première stratégie repose sur la linéarisation et l'emploi du calcul pseudodifférentiel, et la seconde stratégie est purement non linéaire et utilise le calcul paradifférentiel. L'atout de ces deux méthodes est qu'elles donnent lieu à des problèmes bien posés, faciles à mettre en oeuvre pour un faible coût numérique.

In this work, we design absorbing boundary conditions for nonlinear partial differential equations. The aim consists in approximating the solutions of such equations set on unbounded domains. The relevance of this work is justified by the practical interest of such methods and by the lack of results for nonlinear problems in the literature until now. First, we design absorbing boundary conditions for the Schrödinger equation. Then, we deal with nonlinear problems using two methods. The first strategy relies on linearization and on the use of the pseudodifferential calculus. The second strategy is purely nonlinear and relies on the use of the paradifferential calculus. The strength of these methods is to yield well-posed problems which are easy to implement for a low numerical cost.