Du modèle d'Ising 2d vers un problème de Mumford-Shah à deux couleurs

From the 2d Ising model towards the black and white Mumford-Shah functional

• Auteur / Autrice : Reda Jürg Messikh
• Direction : Raphaël Cerf
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Grandes déviations

Cristal de Wulff

Percolation FK

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude de la coexistence de phases dans un régime où la température s'approche du point critique. Pour le modèle d'Ising en dimension deux nous établissons, dans ce régime, un principe de grandes déviations (PGD) duquel nous déduisons l'apparition d'un cristal de Wulff parfaitement rond. Nous étudions aussi le modèle d'Ising soumis à un champ magnétique inhomogène. Lorsque ce champ représente les niveaux de gris d'une image, nous montrons que les configurations de spines se concentrent près des solutions d'une version simplifiée de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Dans le premier chapitre nous établissons des estimées de blocs pour la percolation FK sur-critique en dimension deux. Ces estimées nous permettent d'implémenter des arguments de renormalisation en dimension deux dès que le paramètre est au-dessus du point dual du seuil de décroissance exponentielle des connections. Le deuxième chapitre est consacré à l'analyse du cristal de Wulff lorsque la température s'approche du point critique. Nous établissons un PGD dont la fonction de taux est le périmètre isotrope, le système devient ainsi invariant par rotation. Le lien avec le problème de segmentation d'images s'obtient du PGD précédent en soumettant le modèle d'Ising à un champ magnétique inhomogène construit à partir de la fonction représentant les niveaux de gris de l'image à segmenter. Dans le dernier chapitre nous étudions la tension de surface du modèle d'Ising en dimension deux. Nous montrons que la tension de surface devient invariante par rotation lorsque la température s'approche du point critique.

This thesis is dedicated to the study of phase coexistence in a regime where the temperature approaches the critical point. For the Ising model in dimension two we establish in this regime a large deviation principle (LDP) that proves the apparition of a perfectly round Wulff droplet. Then we study the Ising model submitted to an inhomogeneous magnetic field. When this magnetic field represents the gray levels of a picture, we show that the spin configurations concentrates near the solutions of a simplified version of the Mumford-Shah functional whose surface energy term is rotation invariant. In the first chapter we establish estimates for block events in the context of the 2d supercritical random cluster model. These estimates permit the use of block renormalization techniques as soon as the percolation parameter is above the dual point of the exponential decay of connectivity threshold. The second chapter contains the study of the Wulff crystal when the temperature approaches the critical point. We establish a LDP whose rate function is the isotropic perimeter. The system thus becomes rotation invariant. The link with image segmentation is obtained from the previous LDP by perturbing the Ising model with an inhomogeneous magnetic field. In the last chapter we study the surface tension of the 2d Ising model when the temperature approaches the critical point. Using explicit calculations, we establish that the surface tension becomes rotation invariant near the critical point.