Dimers on isoradial graphs and random interface model in dimension 2+2

• Auteur / Autrice : Béatrice de Tilière
• Direction : Richard Kenyon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Mécanique statistique

Pavages

Fonction de partition

Mesure de Gibbs

Champ libre gaussien

Quadri-pavages

Résumé

Le modèle de dimères modélise la répartition de molécules diatomiques à la surface d'un cristal. Nous supposons que le réseau vérifie une condition géométrique appelée isoradialité, et que les arêtes du réseau sont munies de la fonction de poids critique. Le modèle a alors un comportement ''critique'', il n'a que 2 phases possibles, solide ou liquide, au lieu de 3 en général. Nous obtenons 3 résultats pour le modèle de dimères isoradial. Nous prouvons une formule explicite pour le taux de croissance de la fonction de partition de l'exhaustion naturelle, et pour la mesure de Gibbs d'entropie maximale. L'originalité et l'intérêt de ces 2 formules résident dans le fait qu'elles ne dépendent que de la géométrie locale du graphe. Nous pensons que cette propriété de localité est caractéristique du cas isoradial. Les configurations de dimères ont une interprétation géométrique en tant que surfaces discrètes décrites par une fonction de hauteur. Nous montrons que lorsque les surfaces sont distribuées selon la mesure de Gibbs d'entropie maximale, la fonction de hauteur converge vers un champ libre Gaussien. Nous introduisons le modèle de quadri-pavages triangulaires. Nous montrons que ce modèle est superposition de 2 modèles de dimères sur des graphes isoradiaux, et l'interprétons géométriquement comme surfaces de dimension 2 dans un espace de dimension 4. Nous étudions ce modèle dans sa phase ''critique''. Nous montrons une formule explicite pour le taux de croissance de la fonction de partition totale et pour une mesure sur l'espace de tous les quadri-pavages. C'est le premier modèle d'interfaces aléatoires en dimension 2+2 sur lequel des résultats de ce type ont pu être obtenus.

The dimer model represents diatomic molecules adsorbed on the surface of a crystal. We suppose that the lattice satisfies a geometric condition called isoradiality, moreover we assume that the critical weight function is assigned to edges of the lattice. The model then has a ''critical'' behavior, i. E. It can be in 2 different phases, solid or liquid, instead of 3 in general. Our three main results on the isoradial dimer model are the following. We prove an explicit formula for the growth rate of the partition function of the natural exhaustion of the infinite lattice, and for the maximal entropy Gibbs measure. The interesting feature of those two formulas lies in the fact that they only depend on the local structure of the graph. We believe this locality property to be specific of the isoradial case. Geometrically, dimer configurations can be interpreted as discrete surfaces described by one height function. We show that when the surfaces are chosen with respect to the maximal entropy Gibbs measure, the height function converges to a Gaussian free field. We introduce the triangular quadri-tile dimer model, where quadri-tilings are tilings by quadrilaterals made of adjacent right triangles. We show that this model is the superposition of two dimer models, and interpret it geometrically as surfaces of dimension 2 in a space of dimension 4. We study this model in the ''critical'' phase. We prove an explicit formula for the growth rate of the total partition function, and for a measure on the space of all quadri-tilings. It is the first random interface model in dimension 2+2 for which those kind of results can be obtained.