Etude théorique et numérique de couplages entre écoulements et déformations mécaniques dans l'extraction d'hydrocarbures

Theorical and numerical study in coupling between multiphase flow and mechanical deformations in hydrocarbons extraction

• Auteur / Autrice : Fatima-Zahra Daïm
• Direction : Danielle Hilhorst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Ecoulement en milieu poreux

Equations paraboliques non linéaires dégénérées

Théorème de point fixe de Schauder

Estimations à priori

Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de modèles mathématiques pour les phénomènes de couplage entre l'écoulement de fluides et la déformation mécanique du sol lors de l'extraction d'hydrocarbures en milieu poreux. Dans la partie théorique, on considère deux modèles de couplage, d'une part (1) entre les dèformations du sol et un écoulement linèaire compressible, et d'autre part (2) entre les déformations du sol et un écoulement diphasique non linéaire. Pour le modèle (1), on prouve l'existence et l'unicité d'une solution faible par la méthode de Galerkin. Le modèle (2)est fortement couplé et comporte une équation parabolique dégénérée ; pour démontrer l'existence de solution, on considère une suite de problèmes uniformément paraboliques associés et on démontre qu'ils admettent une solution classique l'aide du théorème de point fixe de Schauder. On s'appuie ensuite sur le théorème de Fréchet-Kolmogorov pour prouver la compacité relative des suites de solutions et établir la convergence d'une sous-suite vers une solution faible du problème initial. Dans une seconde partie, on aborde l'étude numérique. On compare deux algorithmes pour les modèles de couplage. Le premier, utilisé par les ingénieurs du pétrole, est basé sur une méthode de point fixe ; le second, que nous proposons et qui est plus robuste que le premier, s'appuie sur la méthode du gradient conjugué préconditionné.

The purpose of this thesis is to study theoretical and numerical aspects of some coupled models between a flow in porous medium and the mechanical deformation of the ground. We consider two coupled models on the one hand (1) between a linear compressible flow and the mechanical deformation of the ground, and on the other hand (2) between a nonlinear two-phase flow and the mechanical deformation of the medium. For the first model (1), we show the existence and the uniqueness of the weak solution by means of the Galerkin method. The second model (2) is strongly coupled and involves a parabolic degenerate equation. In order to show the existence of a weak solution, weconsider a sequence of related uniformly parabolic problems and apply the Schauder fixed point theorem to show that they possess a classical solution. We then prove the relative compactness of sequences of solutions by means of the Fréchet-Kolmogorov theorem which yields the convergence of a subsequence to a weak solution of the parabolicsystem. The second part is devoted to the numerical study ; we compare two coupling algorithms for thecoupled models. The first one, which is used by engineers, is based upon computations by means of a fixed point method; the second one, which we propose, relies on a preconditionned conjugate gradient approach. We show that the second algorithm is more robust than the first one.