Sur les grands clusters en percolation

• Auteur / Autrice : Olivier Couronné
• Direction : Raphaël Cerf
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés libres

Percolation FK

Grandes déviations

Percolation orientée

Résumé

Nous etudions les grands clusters en percolation bernoulli? en percolation fk et en percolation orientee. En percolation bernoulli, les clusters satisfont un principe de grandes deviations. La fonction de taux est la mesure de hausdorff 1-dimensionnelle associee a la fonction de connectivite. En percolation fk en dimension deux, le cluster maximal dans une boite a la densite du cluster infini et l'union des clusters intermediaires est de taille negligeable a des deviations surfaciques pres. Les grads clusters finis en percolatin fk sont distribues comme un processus de poisson spatial. La methode chen-stein est appliquee au processus des centres de gravites des grands clusters finis et nous travaillons sous l'hypothese d'une propriete de melange faible pour controler les interactions entre les clusters. La mesure empirique du cluster de 0 satisfait un principe de grandes deviations en percolation orien-tee. Le schema est celui du cas non-oriente. Bien que le processus soit markovien, des difficultes surgissent, particulerement a cause de la non-equivalence entre l'energie de surface et le perimetre.

We study large clusters in bernoulli percolation, fk percolation and oriented percolation. In bernoulli percolation, clusters satisfy a large deviation principle. The rate functionis the 1-dimensional hausdorff measure associated to the connectivity function. In 2d-fk percolation the maximal cluster in a box has the density of the infinite clusterand the set of intermediate clusters has a negligible volume up to large deviations of linear order. Large finite clusters are spatially distributed as a poisson process in fk percolation. We apply the chen-stein methodto the process of the mass centers of large finite clusters. We require a mixing property to control interactions between clusters. The empirical measure of the cluster of 0 satisfies a large deviation principle in oreinted percolation. The sheme of the proof is like in the unoriented case. Despite the markovian aspect of the oriented process, we have to handle several difficulties, in particular the non-equivlalence between the surface energy and the perimeter.