Sur la cohomologie des algèbres triangulaires et des algèbres de diagrammes

On the cohomology of triangular algebras and diagram algebras

• Auteur / Autrice : Sophie Dourlens
• Direction : Frédéric Patras
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hodge, Théorie de

Cohomologie

Résumé

Dans la première partie de cette thèse nous généralisons un résultat de Cibils : nous construisons une suite spectrale convergeant vers la cohomologie de Hochschild d’une algèbre triangulaire, à l’aide de son carquois. Nous en décrivons les termes et les différentielles au premier niveau. Nous donnons des exemples d’utilisation de cette suite spectrale, en retrouvant des formules donnant la dimension des groupes de cohomologie d’algèbres de carquois sans cycles orientés, éventuellement tronqués. Dans la deuxième partie nous démontrons qu’une cohomologie de Hochschild relative de l’algèbre associée à un diagramme d’algèbres commutatives, sur une catégorie finie, admet une décomposition en somme direte, induite par une action des idempotents eulériens. Ce résultat généralise la décomposition de Hodge, obtenue entre autres par Gerstenhaber et Schack, de la cohomologie d’une algèbre commutative. Dans la troisième partie, nous construisons une classe d’ensembles partiellement ordonnés (posets), dons l’homologie de Hochschild des algèbres d’incidence vérifie une propriété analogue à la dualité de Poincaré. La notion fondamentale pour construite ces « posets à dualité de Poincaré » est celle de CW-poset définie par Björner. Nous établissons un lien entre posets à dualité de Poincaré et variétés compactes triangulables.

In the fist part of this thesis we generalize a result of Cibils : we construct a spectral sequence converging to the Hochschild cohomology of a triangular algebra, by using its quiver. We describe the terms and the differentials at the first level. We give some examples of use of this spectral sequence, by refinding formulas for the dimension of cohomologie groups of (possibly truncated) quiver algebras, for quivers without oriented cycles. In the second part we prove that a relative Hochschild cohomologie of the algebra associated with a diagram of commutative algebras over a finite category of the algebra associated with a diagram of commutative algebras over a finite category has a direct sum decomposition, induced by the action of the Eulerian idempotents. This result generalizes the Hodge-type decomposition of the cohomologie of a commutative algebra, obtained by Gerstenhaber and Schack (and others). In the thirs part we build a class of posets whose Hochschild homology of incidence algebras satisties an analog of the Poincaré duality. The fundamental notion to construct these “Poincaré duality posets” is one of CW-post defined by Björner. We establish a link between Poincarré duality posets and compact orientable manifolds.