Sur la redondance des transformations Mojette en dimension n et en ligne

• Auteur / Autrice : Pierre Verbert
• Direction : Jean-Pierre Guédon, Nicolas Normand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Électronique
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences et technologies de l'information et des matériaux (Nantes)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transformations (mathématiques)

Codage

Résumé

Ce mémoire traite de l'étude de la redondance engendrée par la transformation Mojette, une version discrète et exacte de la transformation de Radon. Dans une première partie, nous présentons des transformations orthogonales, continues ou discrètes ainsi que les frames et nous les illustrons par quelques unes de leurs utilisations dans le domaine du traitement d'image et des réseaux. Nous terminons cette partie en rappelant les résultats déjà établis pour la transformation Mojette qui permet une redondance contrôlable. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'adaptation de cette transformation à la dimension n. Nous définissons tout d'abord la matrice de projection associée puis la maille dans l'espace projeté, ainsi que le nombre de bins, dans le cas 3D à des fins de visualisation. Nous généralisons les algorithmes et le théorème de la tranche centrale dans le cas n-dimensionnel très utilisé en reconstruction tomographique 2D et 3D. On met en évidence le fait que dans le cas de forme convexe hyperparallélépipèdique, le coût de redondance augmente avec la dimension. Nous décrivons une méthode de génération de supports n-dimensionnels par opérateur morphologique permettant de minimiser le nombre de bins. Mais dans le cas général de formes quelconques, la gestion de la redondance s'avère bien plus délicate. C'est pourquoi nous avons cherché à réduire la redondance en développant une nouvelle version de la transformation Mojette, spécifique aux données binaires : la Mojette Ligne. L'information a priori concernant la nature binaire du support est utilisée de façon à pouvoir réduire le nombre de bins nécessaires à sa reconstruction. Ainsi nous présentons les algorithmes qui lui sont associés et les critères de reconstruction de cette transformation dans une troisième partie. Nous présentons notamment une méthode utilisant des arbres n-aires, dont l'objectif est de sélectionner un ensemble de données répondant à un critère de coût minimal et permettant la reconstruction des données initiales. Nous finissons par exposer quelques possibilités d'utilisation de cette transformée à des fins de stockage et de compression de données intéressantes pour le codage des images et des volumes.

This thesis deals with the study of redondancy generated by the Mojette transform, which is a discrete exact version of the Radon transform. In a first part, we present some orhogonal transforms, in the continuous or the discrete domain, and the frames. We illustrate them with some of their applications in image processing and network domains. We end up this part by recalling the existing results on the Mojette transform, which allows controllable redundancy. The second part of this thesis focuses on the adaptation of this transform to the n dimension. We first define the projection matrix associated with this transform and the trellis on the projection space, as well as the number of bins, in the 3D case for visualisation purposes. We generalize thhe algorithms of the Mojette transform as well as the central slice theorem in dimension n, which is very frequently used in the 2D and 3D tomographic reconsruction field. We emphasize the fact that in the case of hyperparallelepipedic convex shapes, the higher the dimension, the higher the redundancy. We describe a support generation method, via morphological operator, allowing to minimize the number of bins. In the general case of any non-convex shapes, redundancy gestion proves to be more critical. That is why we developed a new version of the Mojette transform specifically designed for binary data, in order to reduce redundancy : the Line Mojette. In a third part, we present the algorithms and reconstruction criteria associated with this transform. We present a method based on n-ary trees, aiming at selecting a set of data fulfilling a minimal cost criterion and allowing the reconstructionof initial data. We end up by proposing a few possible usages of this latter presented transform, for some storage and data compression applications interesting for images and volumes coding.