La théorie des catégories : ses apports mathématiques et ses implications épistémologiques : un hommage historico-philosophique

Category theory : its mathematical achievements, its epistemological implications : a historical and philosophical tribute

• Auteur / Autrice : Ralf Krömer
• Direction : Gerhard Heinzmann, Ernst-Ulrich Gekeler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Histoire des sciences
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Nancy 2
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'histoire des sciences et de philosophie-Archives Henri Poincaré (Nancy)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bourbaki, Nicolas

Mathématiques -- Philosophie

Théorie des ensembles

Résumé

La théorie des catégories (TC) vaut tant par ses applications mathématiques que par les débats philosophiques qu'elle suscite. Elle sert à exprimer en topologie algébrique, à déduire en algèbre homologique et, en tant qu'alternative à la théorie des ensembles, à construire des objets en géométrie algébrique dans la conception de Grothendieck. Des sources non publiées montrent que Grothendieck quitta le groupe Bourbaki à l'issue d'un débat sur la TC relevant en partie de l'épistémologie, notamment quant à la réalisation ensembliste des constructions catégorielles. Nous soutenons que la TC est fondamentale, car elle traite d'opérations typiques de la mathématique de structures : d'après notre position pragmatique, la justification de la connaissance mathématique ne se fait pas par la réduction à des objets de base mais plutôt, à chaque niveau, par rapport au sens commun technique (les théories de niveau ultérieur ont pour objets les théories des objets originaux).

Category theory (CT) is important in virtue of its mathematical applications and its power to generate philosophical debate. It is a language for algebraic topology, a deductive system in homological algebra, and, as an alternative to set theory, a means of object construction (in Grothendieck's conception of algebraic geometry). Unpublished sources show that Grothendieck quit the Bourbaki group because of a debate on CT, which was partly epistemological in nature, especially as far as set-theoretical realisation of categorical constructions was concerned. We claim that CT is fundamental because it is a theory of some typical operations of structural mathematics: in our pragmatic perspective, justification of mathematical knowledge is not provided for by the reduction to basic objects but rather by a technical common sense intervening on each level (the theories on the higher level having as their objects the theories of the original objects).