Groupes de Thompson projectifs de genre 0

Thompson projective groups of genus 0

• Auteur / Autrice : Guillaume Laget
• Direction : Vlad Sergiescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble, Isère, France ; 1971-2015)

Résumé

Le groupe de Thompson projectif T est l'ensemble des homéomorphismes du bord du disque hyperbolique qui sont PSL2 (Z) par morceaux avec points de rupture rationnels. Pour un sous-groupe T de PSL2 (Z) on peut construire le sous-groupe Tr de T des homéomorphismes T par morceaux, et on se demande si la propriété fondamentale de T d'être de type défini est conservée. Cette étude dépend du genre de la surface associée à T. Le but principal de notre travail est de prouver qu'en genre nul, Tr est de présentation finie (Peter Green-berg a montré qu'en genre strictement positif Tr n'est pas de type fini). Nous commençons par conjuguer Tr à un groupe d'homéomorphismes affines par morceaux dont nous prouvons, à l'aide de groupes de Thompson classiques, qu'il est de type défini. Puis nous donnons une description combinatoire de Tr par des couples de forêts infinies, description qui nous permet de déterminer une présentation infinie régulière du groupe, puis une présentation finie.

Thompson group T is the group of all piecewise projective homeomorphisms of the hyperbolic disk with rational breakpoints. For a subgroup of PSL2 (Z) we can construct a subgroup Tr of T, and we ask if the fundamental property of being of finite type is preserved. This study depends on the genus of the surface associated to T. The main goal of our study is to prove that, in genus 0, T is not finitely generated. We first conjugate T to a group of piecewise affine group of homeomorphisms, and we prove, with classical Thompson groups, that this group is of finite type. Then we give a combinatorial description of T with forests, which permits us to determine an infinite presentation of this group, and then a finite presentation.