Complexité métrique sous-riemannienne

Sub-riemannian metric complexity

• Auteur / Autrice : Cutberto Romero-Meléndez
• Direction : Jean-Paul André Gauthier, Felipe Monroy-Perez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie de l'espace métrique

Algorithmes

Géométrie de Riemann

Résumé

Le sujet de cette thèse est la complexité métrique, au sens de Kolmogorov-Jean, de courbes horizontales pour une métrique sous-Riemannienne générique de co-rang un, qui est définie sur une variété de dimension N. On établit le problème dans le cadre du problème de planification de trajectoires. Premièrement, pour N plus grand ou égal à 4, en utilisant principalement des formes normales pour des structures sous-Riemanniennes de contact et quasi-contact, on donne explicitement des expressions pour la complexité métrique en termes des invariants élémentaires du problème. Dans le cas N=3, lequel est le plus compliqué s' il y a des points de Martinet, on ne donne que des bornes pour la complexité métrique. Deuxièmement, on construit la synthèse optimale asymptotique du problème de planification de trajectoires. Dans un troisième temps on présente quelques algorithmes qui donnent une solution au problème de planification de trajectoires, et leur mise en oeuvre au modèle de l'uni-cycle.

The subject of this thesis is the metric complexity in the sense of Kolmogorov-Jean for horizontals curves of generic sub-Riemannian metrics of co-rank one, defined on a manifold of dimension N. We set the problem in the context of the motion planning problem. At the first place, for N bigger than 3, by aking use of the normal forms for the contact and quasi-contact sub-Riemannian structures, we provide explicit expressions for the metric complexity in terms of elementary invariants of the problem. The case N equal 3, turns out to be the more complicated, and in this case, in the presence of Martinet points, we provide bounds for the metric complexity. Secondly, we construct the asymptotic optimal syntheses for the motion planning problem. At the end, we present some algorithms that solve the motion planning problem and their corresponding implementation for the model of the unicycle.