Etude d'une classe de mesures auto-similaires : calculs de dimensions et analyse multifractale

Study of a class of self-similar measures : dimensions calculus and multifractal analysis

• Auteur / Autrice : Benoît Testud
• Direction : Yanick Heurteaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Clermont-Ferrand 2

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multifractales

Hausdorff, Mesures de

Bernoulli, Polynômes de

Gibbs, Mesures de

Résumé

Notre objectif est d'étudier une classe de mesures auto-similaires dont certaines interviennent lors de l'analyse d'ensemble auto-affines. Ces mesures possèdent des propriétés d'homogénéité assez proches de celles des mesures quasi-Bernoulli (QB). On introduit alors la notion de mesure quasi-Bernoulli au sens faible (QBF) et on cherche si les resultats sur les mesures QB s'étendent à ce cadre. Le chapitre 1 aborde les principaux résultats de la thèse en revisitant des graphes auto-affines étudiés par McMullen, Przytycki et Urbanski. Le chapitre 2 établit la validité du formalisme miltifractal pour les mesures QBF pour les valeurs positives de q. Le chapitre 3 montre que, contrairement au cas QB, des transitions de phases sur R- peuvent apparaître dans cette situation. Elles conduisent à des zones ou le formalisme multifractal n'est pas vérifié. Enfin, le chapitre 4 propose d'estimer la dimension de mesures auto-similaires intervenant dans le contexte auto-affine