Estimation de la densité de probabilité multidimensionnelle : risques minimax avec normalisation aléatoire et test d'indépendance

Multidimensionnal density propability estimation : minimax risks with random normalizing factor and independence test

• Auteur / Autrice : Armel, Fabrice, Evrard Yode
• Direction : Oleg V. Lepski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Ecole Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Résumé

Dans le cadre de la théorie minimax, une nouvelle approche permettant d'améliorer la qualité des procédures d'estimation à et proposée par Lepski (1999). Cette approche qui est une combinaison de l'estimation adaptative et du test d'hypothèses introduit le concept de risques avec normalisation aléatoire. Elle conduit à la construction d'un estimateur atteignant une vitesse dépendant de l'observation et qui peut ^etre adaptatif. La vitesse obtenue est meilleure que celle fournie par l'estimation minimax. Dans cette présente thèse, nous appliquons cette théorie au problème de l'estimation de la densité de probabilité multidimensionnelle sous l'hypothèse d'indépendance. Notre travail se divise en deux grandes parties: - Test d'indépendance. Nous proposons un nouveau test d'indépendance non-paramétrique via l'approche minimax. Les alternatives sont décrites par la norme L2. Nous nous intéressons aux tests dont l'erreur de première espèce décroi^t vers 0 quand le nombre d'observations cro^it. - Risques minimax avec normalisation aléatoire. A l'issue du test, nous construisons un estimateur qui atteint une vitesse qui dépend de l'observation. Sous l'hypothèse d'indépendance, cet estima-teur est adpatatif.

In the context of minimax theory, a new approach allowing one to improve the accuracy of estimation has been proposed by Lepski (1999). This approach which is a combination of adaptive estimation and hypothesis testing introduces a new kind of risks normalized by random variable depending on the observation. It implies construction of estimator attaining rate depending on observation. This estimator can be adaptive and the rate is better than minimax rate of convergence. In this thesis, we apply this theory to the problem of estimation of multidi-mensionnal probability density under independence hypothesis. Our work consists of two parts:- Independence test. We propose a new nonparametric independence test via minimax approach. The alternatives sets are described by L2-norm. We are interested in the study for tests for which the error of the first type can decrease to 0 as the number of observations increases. - Minimax risks with random normalizing factors. We construct estimator attaining random rate which is better than mini-max rate of convergence. Under independence hypothesis, this estimator can be adaptive.