Regularity of the solutions of the stationary Boussinesq equations with thermocapillarity effect on the surface of the liquid and mixed finite element methods

• Auteur / Autrice : Imad Choubanne
• Direction : Luc Paquet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Tétraèdres

Interpolation (mathématiques)

Sobolev, Espaces de

Fonctions harmoniques

Stokes, Théorème de

Singularités (mathématiques)

Prismes (géométrie)

Éléments finis, Méthode des

Résumé

Dans ce travail, nous étudions l'existence, la régularité des solutions des équations de Boussinesq stationnaires de thermoconvection (équations de Navier-Stokes couplées avec l'équation de la chaleur) avec thermocapillarité à la surface du liquide dans des polygones et des prismes ainsi que des méthodes d'éléments finis classiques et raffine��s pour calculer des approximations des solutions. L'étude du problème de Boussinesq linéarisé et la théorie de l'interpolation permettent d'établir la régularité de ces solutions dans des espaces à poids qui prennent en compte leur comportement singulier prés des sommets et des arrêtes. En conséquence, l'utilisation d'une méthode d'éléments finis classiques n'aboutit pas en général à un ordre optimal de convergence. On montre que des raffinements de maillages appropriés prés des sommets en 2-D et des arrêtes en 3-D, permettent de prouver de reconstituer le taux optimal de convergence.

In this work, we study the existence and regularity properties of the stationary Boussinesq equations of thermoconvection (Navier-Stokes equations coupled with the heat equation ) with thermocapillarity effect on the surface of the liquid in polygonal and prismatic domains as well as the classical and refined finite element methods to compute approximations of the solutions. The problem of the regularity of the solutions of the nonlinear problem is reduced to the regularity of the solution of the of linearized Boussinesq problem by putting the nonlinear terms in the right-hand sides and using interpolation theory. It is proved that the solution belongs to suitable weighted spaces which take into account their singularities behaviour near the vertices and edges. Consequently to this singular behaviour, the use of the classical finite element method does not lead in general to an optimal order of convergence. It is shown that appropriate mesh refinements near the vertices in 2-D respectively near the edges in 3-D, allow us to restore the optimal rate of convergence.