The Schrödinger equation in nonhomogeneous medium

• Auteur / Autrice : Valeria Banica
• Direction : Patrick Gérard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés libres

Equation de Schrödinger à coefficients singuliers

Inégalités de Strichartz

Explosion en temps fini

Résumé

Cette thèse concerne l'étude de l'équation de Schrödinger et l'impact de l'inhomogénéité du milieu sur les propriétés qualitatives des solutions: propriétés dispersives et existence locale pour l'équation non-linéaire à coefficients variables, phénomènes d'instabilité sur une variété compacte, explosion en temps fini pour le problème de Dirichlet sur un domaine. Dans la première partie on montre la dispersion et les inégalités de Strichartz globales pour l'équation en une dimension, à coefficients fonctions en escalier. On montre aussi que l'inégalité de dispersion n'est plus vraie pour certains coefficients periodiques. La deuxième partie contient une description précise de l'évolution par l'équation cubique posée sur la sphère de dimension deux de certaines harmoniques sphériques concentrées sur des géodésiques. On généralise dans ce chapitre des résultats récents de Burq, Gérard et Tzvetkov. Dans la dernière partie sont analysées les solutions de l'équation posée sur un domaine du plan, avec condition de Dirichlet, explosant en temps fini à l'intérieur du domaine ou sur son bord. On donne en particulier une minoration de la vitesse d'explosion et une condition nécessaire à l'explosion sur le bord.

This PhD thesis concerns the study the Schrödinger equation and the impact of the non-homogeneous media on the qualitative properties of the solution: dispersive properties and local existence for the nonlinear equation with variable coefficients, instability phenomena on a compact manifold, blow-up in finite time for the Dirichlet problem on a domain. In the first part we prove the global dispersion and Strichartz inequalities for the equation in one dimension, with step-function coefficients. We also prove that the dispersion is not longer valid for certain periodic coefficients. The second part contains a precise description of the evolution of certain spherical harmonics concentrated on geodesics, by the cubic equation posed on the sphere of dimension two. We generalize in this chapter some recent results of Burq, Gérard and Tzvetkov. In the last part are analyzed the solution of the equation posed on a plane domain, with Dirichlet boundary condition, blowing up in finite time in the interior of the domain or on its boundary. In particular, we bound by below the blow-up speed and we give a necessary condition for the blow-up on the boundary.