Méthodes d'éléments finis et moindres carrés pour la résolution des équations de Navier-Stokes

Least-squares and finite element methods for solving Navier-Stokes equations

• Auteur / Autrice : Erwan Hiernard
• Direction : Jacques Laminie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés libres

Ecoulement de fluides

Résumé

L'objectif de cette thèse est de mettre en œuvre des méthodes de résolution pour les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles, linéarisées en formulation vitesse-vorticité-pression, par éléments finis et moindres carrés. Ces méthodes se caractérisent par le fait qu'elles ne nécessitent pas de condition Inf-Sup ou bien que celles-ci sont trivialement satisfaites. Deux méthodes sont présentées. La première est une variante de la méthode Least-Squares Finite Element Method (LSFEM). Elle consiste à écrire une formulation variationnelle du problème dé type Petrov-Galerkin. Les systèmes linéaires obtenus n'ont aucune raison d'être carrés, ils sont donc résolus au sens des moindres carrés. Comme les autres méthodes de moindres carrés, cette méthode n'a pas à vérifier la condition Inf-Sup. Elle conserve aussi certains défauts de la méthode originale. On démontre cependant la bonne convergence de cette méthode et une estimation de l'erreur. L'idée nouvelle de développement dans la seconde méthode est d'utiliser les espaces d'éléments finis de Whitney, adaptés à chaque opérateur et à chaque équation. La formulation faible est également de type Petrov-Galerkin mais cette fois les matrices sont carrées. On démontre la convergence et une estimation a priori de l'erreur en prouvant que la condition Inf-Sup est automatiquement vérifiée. De plus, les comparaisons des résultats numériques de ces méthodes nous permettent de montrer que cette méthode est meilleure mais au prix de calculs plus lourds.

In this work, we solve the tridimensional Navier-Stokes equations in the velocity-vorticity-pressure formulation by finite element methods and least-squares formulation. This kind of method is characterized by the fact that the L. B. B. Condition is not needed or is trivialy verified. We present two methods. The first one derives directly from the least-squares finite element method (LSFEM). But the weak formulation is obtained using a Petrov-Galerkin method. We obtain non squared linear systems, so they are solved using least-squares techniques. As others LSFEM methods, we don't have to verify the L. B. B. Condition. The implementation of this method is very easy but we have the same restrictions of the LSFEM. We prove that the method is convergent and error estimates are obtained. In the second method, we use the Whitney's finite element spaces in which each operator and equation can be properly expressed. Moreover, in this method, the linear systems are squared and can be solved directly. We also prove convergence of this method and error estimates. The L. B. B. Condition is directly verified. Numerical comparaisons between these two methods show that the second one gives better results in terms of accuracy but with more computer cost.