Termination of rewriting in the calculus of constructions

• Auteur / Autrice : Daria Walukiewicz-Chrzaszcz
• Direction : Jean-Pierre Jouannaud, Jerzy Tiuryn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Paris 11 en cotutelle avec Uniwersytet Warszawski

Mots clés

Mots clés libres

Lambda-calcul

Assistant de preuve

Résumé

Le sujet de la thèse porte sur la normalisation forte de la réécriture sur les termes du calcul des constructions. Plus précisément, on construit un critère de terminaison décidable, dit HORPO (Higher Order Recursive Path Ordering), sur des règles de réécriture d'ordre supérieur. On prouve que le calcul des constructions enrichi par tout système de règles vérifiant ce critère admet seulement des réductions finies. En même temps on montre que HORPO est suffisamment général pour accepter un grand nombre de définitions de fonctions rencontrées dans la littérature. Ce sujet fait partie de la recherche sur la réécriture d'ordre supérieur et de la recherche sur des extensions du calcul des constructions. Du coté pratique ce sujet de recherche est motivé par le développement des assistants à la démonstration basés sur le calcul des constructions tels que Coq. Les règles de réécriture considérées peuvent être définies sur des symboles de fonctions d'ordre supérieur dont le type peut être dépendant, mais pas sur les constructeurs de types {on ne s'intéresse pas à la réécriture sur les types). Les réductions considérées sont des pas de réécriture et de beta-réduction librement intercalés. La normalisation forte du calcul de constructions avec de la réécriture est prouvée en utilisant les candidats de réductibilité de Girard dans leur version typée proposée par Coquand et Gallier. On montre aussi la propriété de subject réduction, qui est assez compliquée à cause de la non-confluence de HORPO. Mis à part la convertibilité (le coût de vérification de la beta-égalité) l'algorithme pour vérifier si une règle satisfait HORPO est polynomial. La décidabilité et la complexité relativement basse de HORPO sont des arguments importants pour traiter HORPO comme une base pour l'incorporation de réécriture dans un assistant de preuve comme Coq.

We show how to incorporate rewriting into the Calculus of Constructions and prove that the resulting system is strongly normalizing with respect to beta and rewrite reductions. More precisely, we present a decidable criterion called HORPO (Higher Order Recursive Path Ordering) on rewrite rules and we show that in the Calculus of Constructions extended by any set of rules satisfying HORPO all reductions are finite. Our criterion is general enough to accept definitions by rewriting of many well-known, higher order functions, for example dependent recursors for inductive types or proof carrying functions. The subject of the thesis is concerned both with the research on the higher-order rewriting and on interesting extensions of the Calculus of Constructions. A practical motivation of this work is the perspective of extending the proof assistants based on the Calculus of Constructions, with a rewriting mechanism. In the thesis the rewrite rules can be defined over higher-order dependently typed function symbols, that are not type-constructors (rewriting on types is out of the scope). Moreover, the rules have to be parametric, which roughly means that all type arguments have to be distinct variables. Reductions consist of arbitrary sequences of rewriting steps and beta-reductions. The strong normalization of the Calculus of Constructions with HORPO is proved using a typed version of Girard's reducibility candidates method, proposed by Coquand and Gallier. The system has the subject reduction property, but its proof is complex since the rewrite relation generated by HORPO is not confluent. Putting aside the convertibility tests (i. E. Beta-equality), checking a rewrite rule has polynomial complexity. Decidability and relatively low complexity of HORPO provide an important argument for considering HORPO as a basis for the incorporation of rewriting in interactive theorem proved based on the Curry-Howard isomorphism, such as Cog.