Processus associés à l'équation de diffusion rapide. Indépendance du temps et de la position pour un processus stochastique

• Auteur / Autrice : Christophe Ackermann
• Direction : Bernard Roynette
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien, Processus de

Marches aléatoires (mathématiques)

Équations différentielles stochastiques

Processus de diffusion

Résumé

Cette thèse s'articule autour de deux axes de recherche. D'abord, on donne une modélisation stochastique de l'équation aux dérivées partielles dite de diffusion rapide. Celle-ci décrit des phénomènes de diffusion qui apparaissent dans la physique des plasmas. Ainsi, on étudie la solution d'une équation différentielle stochastique dont la densité est solution de l'équation de diffusion rapide, et on traite en particulier le cas où la mesure initiale est la masse de Dirac en 0. Ensuite, on étudie la question de l'indépendance du temps et de la position pour un processus stochastique. On considère une marche aléatoire S(n) dont les accroissements sont indépendants, de même loi, et on étudie les temps d'arrêt T standards tels que T et S(T) sont indépendants. On donne une description des lois d'arrêts de S(T) dans le cas d'une marche de Bernoulli symétrique. On complète enfin ce travail en donnant une caractérisation des lois d'arrêt du mouvement brownien.

The aim of this thesis is twofold. First, we give a stochastic modelisation of a partial differential equation known as equation of ''fast'' diffusion. The latter describes a diffusion phenomenon which occurs in the plasma physics. Thus, we study the solution of a differential stochastic equation, the density of which satisfies the equation of ''fast'' diffusion: we treat in particular the case when the initial measure is the Dirac measure at 0. Secondly, we deal with the question of the independence of time and position for a stochastic process. We consider a random walk S(n) with independent identically distributed increments and we study the standard stopping times T such that T and S(T) are independent. We give a description of the stopping distributions of S(T) in the case of a Bernoulli symmetric random walk. We finally complete this work by giving a characterization of the stopping distributions of the Brownian motion.