Thèse soutenue

Equations d'évolution stochastiques dans les espaces de Banach : unicités abstraites, propriété de Markov forte, équations hyperboliques

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Auteur / Autrice : Martin Ondreját
Direction : Marco DozziJan Seidler
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2003
Etablissement(s) : Nancy 1 en cotutelle avec Univerzita Karlova (Prague)
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Résumé

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Ce travail comporte quatre chapitres sur les équations d'évolution semilinéaires stochastiques (EDPS) dans des espaces de Banach. Le premier chapitre traite des diverses notions d'unicité et d'existence (telles que l'unicité trajectorielle, l'unicité en loi, l'existence forte et faible) et des relations entre elles. Nous construisons d'une manière différente l'intégrale stochastique dans des espaces de Banach, et nous démontrons l'inégalité de Burkholder, le théorème de Fubini, le théorème de Chojnowska-Michalik et le théorème de Girsanov. Nous démontrons aussi des théorèmes de conservation de loi pour des intégrales de Bochner, des intégrales stochastiques et des sélecteurs mesurables. Le deuxième chapitre traite des représentations browniennes de martingales locales cylindriques banachiques et du problème de martingale en dimension infinie. Nous utilisons ces résultats pour démontrer le rôle de la notion de " bien-posé " et le fait que l'existence faible et l'unicité en loi de l'équation en question entraînent la propriété de Markov forte des solutions. Le troisième et le quatrième chapitre concernent des EDPS hyperboliques de second ordre par rapport à un processus de Wiener spatialement homogène. Plus précisément, nous donnons des conditions suffisantes sur les coefficients entraînant l'existence globale des solutions fortes et faibles, et nous démontrons que les solutions se propagent à vitesse finie.