Groupes linéaires sur un corps superstable

• Auteur / Autrice : Yerulan Mustafin
• Direction : Bruno Poizat, Serikzhan Badaev
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Lyon 1 en cotutelle avec Université d'Almaty, Kazakhstan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ensembles boréliens

Produits de sous-groupes

Zariski, Surfaces de

Résumé

Dans cette thèse nous étudions les propriétés de groupes linéaires définissables sur un corps superstable. Dans le chapitre 2 nous généralisons les propriétés des groupes linéaires au cas superstable. On y établit une notion générale de connexité pour les groupes définissables et on étudie les propriétés génériques, la structure de groupes unipotents et celle des tores ; on montre la préservation de la Décomposition de Jordan pour les sous-groupes linéaires sur un corps omega-stable et de caractéristique p, ou sur un corps caractéristique nulle et de rang de Morley fini ; on étudie les propriétés des bons corps sans automorphismes multiplicatifs définissables différents d'une puissance du frobenius. Dans le chapitre 3 on montre que les groupes linéaires sur un corps de caractéristique p non nulle et de rang de Morley fini ont beaucoup de propriétés algébriques et surtout à propos des tores : ils sont tous ''bons'' et rigides, ils se relèvent totalement ; ensuite nous montrons deux théorèmes de structure, la conjugaison des borels, des tores maximaux, des p-sylows. Dans le chapitre 4 on montre un théorème de structure pour les groupes connexes définissables linéaires sur un corps K de rang de Morley fini et de caractéristique nulle. Nous démontrons le résultat général suivant : les borels et les tores maximaux dans un tel groupe sont conjugués, cela implique le relèvement total des tores ; et nous concluons qu'un groupe simple sans unipotents est mauvais. Dans le chapitre 5 on montre que si G est un sous-groupe infini définissable de SL2(K), il est résoluble ou égal à un conjugué de SL2(k), où k est un sous-corps définissable de K. Dans le chapitre 6 on considére la formule généralisée de trace que nous utilisons dans le chapitre 5. Ensuite on étudie les groupes définissables sans unipotents de GL3(K), où K est un corps de rang de Morley fini et de caractéristique nulle : on obtient une condition pour que G ne soit pas un mauvais groupe. Dans le chapitre 7 nous étudions les propriétés d'un mauvais corps de Poizat K (un corps vert). Nous montrons que les types de rang de Morley fini dans K sont tous triviaux.