Etude de systèmes d'équations aux dérivées partielles intervenant en physico-chimie et en optique

Study of partial derivative equations that are vivolved in optic systems and chemical systems

• Auteur / Autrice : Vincent Torri
• Direction : Thierry Colin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Tension superficielle

Diffraction

Analyse numérique

Maxwell, Équations de

H-espaces

Résumé

Les travaux présentés portent sur deux thèmes distincts : le premier thème de recherche est l'étude mathématique d'une phase lamellaire lyotrope soumise à un cisaillement. Cette phase lamellaire, créée par ajout en grande quantité de tensio-actifs dans un solvent, est soumise à un cisaillement. A une certaine vitesse de cisaillement, des structures nommées sphérulites, ou "oignons", sont créés. A fort cisaillement, la phase des oignons disparaît et on observe une stabilisation du système, décrite par un modèle mathématique. On étudie rigoureusement le problème de restabilisation et on montre un résultat d'instabilité à faible cisaillement. Une étude numérique montre qu'une bifurcation de Hopf apparaît pour une certaine vitesse de cisaillement. Le deuxième thème abordé est l'élaboration d'un schéma numérique qui résout les équations de Maxwell-Bloch deux niveaux. Ce schéma modélise la propagation d'un signal oscillant, dans le cadre de l'optique diffractive. L'utilisation des développements BKW et de profils permet de diminuer fortement la discrétisation espace-temps par rapport aux schémas aux différences finies classiques tels le schéma de Yee.

This work is divided into two parts : the first one is devoted to the mathematical study of a lamellar lyotrop phase under shear stress. This lamellar phase is created by adding a large quantity of surfactants in water and is submitted to a shear stress. At some shear velocity, structures called spherulits, or "onions", are created. When the shear stress is large enoug, the onion phase disappears and we observe a restabilization process, des cribed by a mathematical model. We study rigorously this last behavior and we show an instability result. A numerical analysis shows that a Hopf bifurcation occurs at some shear velocity. The second part deals with a numerical scheme which solves the 2-levels Maxwell-Bloch equations. We want to describe the evolution of oscillating solutions which propagate in long times (diffractive optics). We use WKB method and profiles to highly decrease the time-space meshes and performances are highly improved, compared to oher classical finite-difference methods like the Yee scheme.