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Thèse soutenue

Paires 3-tangentielles hyperelliptiques et solutions doublement périodiques en t de l'équation de Korteweg-de Vries

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Auteur / Autrice : Pierre Fledrich
Direction : Armando Treibich
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques pures
Date : Soutenance en 2003
Etablissement(s) : Artois

Résumé

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On étudie, quel que soit le réseau \Lambda \subset {\mathbb C}, les courbes hyperelliptiques donnant lieu à des solutions doublement périodiques en t de l'équation de Korteweg-de-Vries. Ce sont des revêtements marqués finis particuliers (appelés paires 3-tangentielles hyperelliptiques) de la courbe elliptique X={\mathbb C}/\Lambda. On est amené pour les étudier à considérer une surface algébrique réglée \rightarrow X et la surface ^\perp obtenue par un éclatement en huit points de S. Une paire 3-tangentielle hyperelliptique \Gamma se factorise via S^\perp \rightarrow S \rightarrow X et la classe d'équivalence numérique de son image sur S^\perp est paramétrée par un couple (n,\mu) où n désigne le degré du revêtement \Gamma \rightarrow X et \mu un quadruplet d'entiers associé à l'image de \Gamma sur S. Nous construisons des exemples de paires 3-tangentielles hyperelliptiques de genre arithmétique un à dix et de degré un à vingt. On classe les paires 3-tangentielles hyperelliptiques en fonction de leur ramification au point marqué, ce qui permet de majorer les genres arithmétiques des paires en fonction de leurs degrés. Nous d'emontrons pour tout entier g l'existence de familles à un paramètre de paires 3-tangentielles hyperelliptiques de genre arithmétique g.