Nombres de Betti virtuels des ensembles symétriques par arcs et équivalence de Nash après éclatements

Virtual Betti numbers of arc-symmetric sets and blow-Nash equivalence

• Auteur / Autrice : Goulwen Fichou
• Direction : Adam Parusiński
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Angers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Nash, Variétés de

Euler-Poincaré, Caractéristique d'

Singularités (mathématiques)

Résumé

L'objet de la thèse est d'utiliser, en géométrie algébrique réelle, l'intégration motivique, une théorie développée par J. Denef et F. Loeser, dans le but de construire des invariants pour les singularités analytiques. Cette théorie de l'intégration motivique nécessite la connaissance de caractéristiques d'Euler généralisées pour les variétés algébriques réelles, c'est-à-dire d'invariants additifs et multiplicatifs qui permettent de construire des mesures calculables sur les espaces d'arcs. Or, si on dispose en géométrie algébrique complexe de bonnes caractéristiques d'Euler généralisées, ce n'est pas le cas en géométrie algébrique réelle. En effet la seule connue, mais peu utilisable, est la caractéristique d'Euler à supports compacts. Dans cette thèse, nous construisons un tel invariant pour une catégorie d'ensembles plus large, les ensembles symétriques par arcs, généralisant un résultat de C. McCrory et A. Parusinski. Cet invariant algébrique, appelé polynôme de Poincaré virtuel et construit à partir de nombres de Betti virtuels, est de plus invariant par isomorphismes de Nash. On applique alors l'intégration motivique, avec la mesure provenant du polynôme de Poincaré virtuel, pour étudier les germes de fonctions analytiques réelles. On construit en particulier des fonctions zêta, suivant les travaux de J. Denef et F. Loeser, que l'on prouve être des invariants pour un cas particulier de la relation d'équivalence analytique après éclatements, appelée l'équivalence de Nash après éclatements. On énonce de plus, concernant cette nouvelle relation entre germes de fonction analytiques réelles, un résultat de trivialisation pour une famille ayant de bonnes propriétés algébriques.

Motivic integration, a theory recently developped by J. Denef and F. Loeser, is a powerful tool for constructing invariants of singularities. However it necessitates, in order to construct measures for this integration, to known generalized Euler characteristics, that is additive and multiplicative invariants at the level of varieties. In the setting of real algebraic geometry, such generalized Euler characteristics does not abound whereas it is the case in complex algebraic geometry. We construct in this Ph. D. Thesis such an invariant, called the virtual Poincaré polynomial, for the larger category or arc-symmetric sets, generalizing a result of C. McCrory and A. Parusinski. We prove that this virtual Poincaré polynomial is moreover an invariant for Nash isomorphisms between arc-symmetric sets. This enables us, following the work of J. Denef and F. Loeser, to construct zeta functions for a real analytic function germ. In particular, we can state a formula for these zeta functions in terms of a modification of the germ. The main result about these zeta functions is that they are invariants for the blow-Nash equivalence between real analytic fnnction germs, which is a particular case of the blow-analytic equivalence due to T. -C. Kuo. Moreover, we prove a triviality result concerning the blow-Nash equivalence, whose proof requires new techiques because of the particularity of the Nash setting.