Etude des orbites nilpotentes par l'application de Springer généralisée

Study of the nilpotent orbits by the generalized Springer resolution

• Auteur / Autrice : Ngoc Gioan Jean Pagnon
• Direction : Dũng Tráng Lê
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés de drapeaux (géométrie)

Young, Tableaux de

Singularités (mathématiques)

Orbites, Méthode des

Résumé

Cette thèse commence par quatre chapitres qui sont consacrés aux rappels de la théorie des groupes algébriques semi-simples complexes, de leurs algèbres de Lie et des orbites nilpotentes sous l'action adjointe. Dans le chapitre 5, on étudie en détails les fibres de Springer généralisées. Dans le cadre général des algèbres de Lie semi-simples complexes, on obtient une borne supérieure pour leur dimension, généralisant un résultat de R. Steinberg et permettant ainsi de décrire certaines de leurs composantes irréductibles. Puis dans le cas des matrices de trace nulle, on détermine la fibre générale au dessus de la partie générique du lieu singulier. En s'inspirant d'un travail de H. Esnault, on en déduit, en particulier, que l'application de Springer généralisée associée à l'adhérence d'une classe de conjugaison nilpotente, se restreint en la résolution minimale des singularités génériques en codimension 2, retrouvant le fait que ces singularités sont simples de type A, un résultat de H. Kraft et C. Procesi. Dans le chapitre 6, pour la variété des drapeaux complets, les fibres de Springer sont formées des drapeaux fixés par les endomorphismes nilpotents. D'après N. Spaltenstein, les composantes irréductibles de ces fibres sont paramètrées par les tableaux de Young standardsq. Alors le résultat principal consiste à déterminer à partir d'un tableau de Young standard associé à une composante irréductible C de la fibre de Springer, l'unique cellule de Schubert dont l'intersection avec C soit dense dans C.