Non parametric estimation under contraints. Applications in stochastic finance

• Auteur / Autrice : Marian Ciuca
• Direction : Axel Grorud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et sciences de la matière (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques financières

Besov, Espaces de

Statistique non paramétrique -- Théorie asymptotique

Résumé

Les mathématiques financières peuvent requerir, par rapport à la formule de Black-Scholes, l'estimation non-paramétrique uni-latérale de la fonction de volatilité: l'estimateur doit être toujours plus grand ou égal à la fonction estimée. Dans la première partie nous construisons des estimateurs par ondelettes, linéaires et non-linéaires, du coefficient de diffusion d'un processus de diffusion, et calculons leur vitesses de convergences dans un contexte minimax, et respectivement, adaptatif, lorsque la fonction estimée appartient à des classes de régularité de Besov, en utilisant la norme uniforme comme mesure de la qualité d'un estimateur; nous construisons ensuite un estimateur asymptotiquement uni-latéral du coefficient de diffusion et calculons sa vitesse de convergence minimax. Dans la deuxième partie nous étudions le problème d'estimation uni-latéral dans le modèle de bruit blanc gaussian, et mettons en évidence la vitesse de convergence minimax de ce problème d'estimation non-paramétrique sous contraintes, démontrant des résultats de borne infériuere et supérieure. Dans la troisième partie, nous prouvons que nos estimateurs de la volatilité, engendrent des stratégies Black-Scholes asymptotiquement répliquantes, super-répliquantes et sub-répliquantes. Le dernière partie présente nos estimateurs de point de vue appliqué, à l'aide de simulations numériques.

In financial mathematics, when using the celebrated Black-Scholes formula one can be asked to nonparametrically estimate the volatility function in a one-side manner: the estimator has to be always grater than, or equal to, the estimated function. In the first part, working over Besov smoothenss classes, we construct wavelet linear and non-linear estimators of the diffusion coefficient of a diffusion process, using the sup-norm as a quality criterion for an estimator, and compute their convergence rates, in a minimax, and respectively adaptive, context; then we construct an asymptotically one-sided diffusion coefficient estimator and compute its minimax convergence rate. In the second part we study the one-side estimation problem in the Gaussian white noise model, and exhibit the minimax convergence rate for this constrained nonparametric estimation problem, proving lower and upper bound results. In the third part, we prove that our volatility estimators yield Black-Scholes asymptotically replicating, super-replicating and sub-replicating strategies. The last part presents our estimators from an applied point of view, by means of numerical simulations.