Structure galoisienne d'anneaux entiers

Galois module structure of rings of integers

• Auteur / Autrice : Marjory Godin
• Direction : Bouchaïb Sodaïgui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés libres

Structure galoisienne

Hom-description de Fröhlich

Résolvante de Fröhlich-Lagrange

Ordre maximal

Classes réalisables

Classes de Steinitz

Résumé

Soient k un corps de nombres, O son anneau d'entiers et Γ le groupe alterné A₄. On suppose que k et Q(j) sont linéairement disjoints sur Q. Soient M un ordre maximal de O dans l’algèbre semi-simple k[ Γ ] contenant O[ Γ ] et C1(M) son groupe des classes. On désigne par R(M) l’ensemble des classes réalisables, c’est-à-dire l’ensemble des classes c ∈ C1(M) telles qu’il existe une extension galoisienne N/k modérément ramifiée, à groupe de Galois isomorphe à Γ et telle que la classe de M⊗₀Γ soit égale à c, où O est l’anneau des entiers de N. Dans cette thèse nous déterminons effectivement les éléments de R(M) et nous montrons que R(M) est un sous-groupe de C1(M). Lorsque nous essayons d’étudier R(M), nous sommes confrontés au problème de plongement en liaison avec les classes de Steinitz, une autre partie de cette thèse est l’étude des classes de Steinitz d’extensions tétraédrales et nous avons aussi étudié le cas où Γ est le groupe symétrique S₄

Let k be a number field, O its ring of integers and Γ the alternating group A₄. Assume that k and Q(j) are linearly disjoint over Q. Let M be a maximal O-order in k[ Γ ] containing O[ Γ ] and C1(M) its classgroup. We denote by R(M) the set of realizable classes, that is, the set of classes c ∈ C1(M) such that there exists a Galois extension N/k with Galois group isomorphic to Γ and the class of M⊗₀Γ equal to c, where O is the ring of integers of N. In this thesis, we determine effectively the elements of R(M) and we prove that R(M) is a subgroup of C1(M). When we try to study R(M), we are confronted with an embedding problem connected with the Steinitz classes, another part of this thesis is the study of Steinitz classes of tetrahedrals extensions and we have study too the case when is the symetric group S₄