Comportement asymptotique de solutions de problèmes paraboliques dé́générés.

Asymptotic behaviour for solutions of degenerate parabolic problems.

• Auteur / Autrice : Marc Falliero
• Direction : Monique Madaune-Tort
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique

Mots clés libres

Comportement asymptotique

Equations paraboliques dégénérées

Résumé

Le but de ce travail est d'étudier le comportement asymptotique, en temps, des solutions d'équations paraboliques dégénérées, non linéaires, sur un domaine borné de Þ2 ou Þ3. L'objectif est de trouver des conditions suffisantes assurant l'existence d'une solution bornée et l'unicité de l'élément è-limite qui est une solution stationnaire du problème considéré. L'étude des propriétés de solutions d'équations aux dérivées partielles, globales en temps, est facilitée si la variable d'espace décrit une boule, les solutions considérées étant de plus à symétrie radiale. Effectivement les solutions ne dépendent alors que d'une seule variable d'espace, la variable radiale, ce qui conduit à reformuler les problèmes étudiés dans un cadre monodimensionnel. On étudie donc d'abord le cas où le domaine et la donnée initiale sont à symétrie radiale, puis on utilise des techniques dites de symétrisation pour étendre au cas général certains des résultats obtenus dans le cas symétrique. En particulier lorsque le domaine est une boule, la donnée initiale étant quelconque, on établit que l'élément è-limite est à symétrie radiale. On met aussi en place des conditions suffisantes sur les données pour qu'il y ait convergence vers 0.

The aim of this work is to study the long-time behaviour of solutions to the Dirichlet problem for non linear degenerate convection-reaction-diffusion equations. We look for some conditions leading to the existence of a bounded time global solution and to the uniqueness of the è-limit element which is a stationnary state. It is easier to study the existence and the asymptotic behaviour when the domain is a ball, and the solution radially symmetrical. Indeed the solution depends on one and only one space variable, the radial one. So the problem may be considered in one space dimension. Therefore the symmetrical case is first studied. Then symmetrisation techniques are used to deal with the non symmetrical case. In particular, when the domain is a ball, we prove that the è-limit element is radially symmetrical. Moreover, we point out conditions ensuring that the solution tends to zero.