Estimations à priori et critères d'exploxion pour les problèmes paraboliques non-linéaires

A priori estimates of global solutions and blow-up criterions for nonlinear parabolic problems

• Auteur / Autrice : Pierre Rouchon
• Direction : Philippe Souplet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes non linéaires

Résumé

Ce travail présente quelques résultats concernant les solutions de certaines équations paraboliques non-linéaires avec condition de Dirichlet au bord et donnée initiale positive. Il comporte deux parties distinctes. Dans la Partie I, nous travaillons dans des ouverts non bornés qui, typiquement, sont l'intérieur d'une surface de révolution. Nous considérons des équations dont les non-linéarités dépendent de puissances de la solution et de son gradient et donnons des résultats d'explosion en temps fini de la solution, suivant la décroissance à l'infini de la donnée initiale. Le critère obtenu dépend directement de la géométrie du domaine. Nous montrons que pour une large classe de domaines, ces résultats sont optimaux, i. E. Il existe des solutions globales pour des données initiales ayant le même ordre de décroissance à l'infini. Nous généralisons les résultats d'explosion pour certains systèmes. Dans la Partie II, nous étudions les solutions globales positives d'équations comportant des termes de réaction non-locaux, dans des domaines bornés. Nous montrons qu'elles sont uniformément bornées : en d'autres termes, elles ne peuvent exploser en temps infini, ce qui n'est pas toujours le cas pour les termes de réaction locaux. Enfin, nous montrons l'existence de bornes universelles pour certaines de ces équations : après tout temps strictement positif, toutes les solutions globales et positives de ces équations sont bornées par une même constante indépendante de la donnée initiale. La démonstration repose en particulier sur de nouveaux effets régularisants pour ce type de problèmes.