Différents aspects de la physique statistique de systèmes avec contraintes topologiques

Different aspects of statistical physics of systems with topologica constraints

• Auteur / Autrice : Raphaël Voituriez
• Direction : Sergei K. Nechaev
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés libres

@Marches aléatoires

@Géométrie hyperbolique

@Groupes de tresses

Résumé

Ce travail présente différentes méthodes permettant une étude statistique de systèmes avec contraintes topologiques. Des exemples de telles contraintes issus de domaines variés sont exposés. Dans le cas de systèmes à géométrie linéaire comme les polymères, la modélisation proposée mène à l'étude de processus stochastiques sur le groupe fondamentale de l'espace des configu- rations. Deux modèles, décrivant différents cas d'emmêlements de tels objets linéaires sont exposés en détails. Le premier, RWAO, décrit un polymère évoluant dans un espace avec obstacles. Le second traite d'objets dirigés et se ramène à l'étude de marches aléatoires sur le groupe de tresses B3. La résolution du problème de marche aléatoire sur groupe associé à chacun de ces modèles donne accès à différentes quantités physiquement pertinentes. La géométrie hyperbolique sous-jacente à ces groupes d'homotopie est étudiée, et permet en particulier la définition et le calcul de la distribution d'un inva- riant topologique d'origine géométrique. L'étude des espaces de recouvrement est menée pour différents modèles, et permet de définir analytiquement des surfaces aux propriétés multifractales intéressantes

This work presents different methods allowing a statistical study of sys- tems with topological constraints. Exemples of such constraints coming from different fields of science are exposed. Ln the case of linear abjects such as polymers, the model proposed here leads to the study of stochastic pro cesses on the fundamental group of the configuration space. Two models describing different types of entanglements of such linear abjects are exposed in details. The first one, RWAO, describes a polymer living in a space with obstacles. The second one deals with directed abjects, and is modelized by random walks on braid groups En. Resolution of the random walk on group problem associated with each of these models gives access to different quantities of physical interest. The hyperbolic geometry underlying these homotopy groups is studied, and allows in particular definition and computation of a new ''geo- metrical'' topological invariant. The study of covering spaces is tackeled, and leads to surfaces with interesting multifractal properties.