Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Patricia Reynaud-Bouret
Direction : Pascal Massart
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2002
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Résumé

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L'objet de cette thèse est d'adapter des techniques de sélection de modèle au cadre particulier de l'estimation d'intensité de processus ponctuels. Plus précisément, nous voulons montrer que les estimateurs par projection pénalisés de l'intensité sont adaptatifs soit dans une famille d'estimateurs par projection, soit pour le risque minimax. Nous nous sommes restreints à deux cas particuliers : les processus de Poisson inhomogènes et les processus de comptage à intensité multiplicative d'Aalen. Dans les deux cas, nous voulons trouver une inégalité de type oracle, qui garantit que les estimateurs par projection pénalisés ont un risque du même ordre de grandeur que le meilleur estimateur par projection pour une famille de modèles donnés. La clé qui permet de prouver des inégalités de type oracle est le phénomène de concentration de la mesure ou plus précisément la connaissance d'inégalités exponentielles, qui permettent de contrôler en probabilité les déviations de statistiques de type khi-deux au dessus de leur moyenne. Nous avons prouvé deux types d'inégalités de concentration. La première n'est valable que pour les processus de Poisson. Elle est comparable en terme d'ordre de grandeur à l'inégalité de M. Talagrand pour les suprema de processus empiriques. La deuxième est plus grossière mais elle est valable pour des processus de comptage beaucoup plus généraux. Cette dernière inégalité met en œuvre des techniques de martingales dont nous nous sommes inspirés pour prouver des inégalités de concentration pour des U-statistiques dégénérées d'ordre 2 ainsi, que pour des intégrales doubles par rapport à une mesure de Poisson recentrée. Nous calculons aussi certaines bornes inférieures pour les risques minimax et montrons que les estimateurs par projection pénalisés atteignent ces vitesses.