Statistiques spectrales des systèmes diffractifs

• Auteur / Autrice : Olivier Giraud
• Direction : Eugène Bogomolny
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés libres

Billard

Formule de trace

Facteur de forme

Orbites périodiques

Résumé

''Nous nous intéressons aux aspects analytiques de l'étude des statistiques spectrales des systèmes quantiques diffractifs. Les systèmes dynamiques peuvent présenter classiquement un comportement intégrable, chaotique ou intermédiaire, et il semble exister une correspondance entre ce comportement classique et les propriétés quantiques du système. Ce travail porte sur l'étude des fonctions de corrélation spectrale de systèmes intégrables perturbés par une singularité: centre diffracteur ponctuel (potentiel delta), angle singulier dans un billard, et ligne de flux Aharonov-Bohm. Il est possible, en utilisant leurs propriétés mathématiques spécifiques, d'obtenir analytiquement l'expression du facteur de forme à l'origine pour divers systèmes particuliers: billard rectangulaire ou billard circulaire traversé par un flux Aharonov- Bohm, billards triangulaires ayant la ''propriété de Veech'', billards avec barrière. Les résultats analytiques, conformes aux résultats numériques, semblent accréditer l'hypothèse de l'existence de traits statistiques communs aux systèmes intermédiaires. Afin d'obtenir l'expression complète du facteur de forme, il convient d'inclure la contribution des orbites diffractives. Dans le cas d'un billard rectangulaire muni d'un centre diffracteur ponctuel, on utilise une méthode semi-classique qui permet de ressommer toutes les contributions des interactions entre orbites périodiques et orbites diffractives, et ainsi de calculer analytiquement le facteur de forme à tout ordre. La distribution des écarts entre niveaux d'énergie pour ce même système est calculée analytiquement, et son comportement asymptotique démontre que ce système présente des traits communs aux systèmes intégrables et aux systèmes chaotiques, vérifiant ainsi la conjecture portant sur les systèmes intermédiaires. ''

We are interested in the analytical aspects of the spectral statistics of quantum diffractive systems. Dynamical systems have a classical behaviour which ranges from integrable to chaotic or intermediate, and there seems to be a correspondance between this classical behaviour and the quantum properties of the system. This work is a study of the spectral correlation functions of integrable systems perturbed by a singularity: infinitely small scattering center (delta-like potential), singular corner in a billiard, Aharonov-Bohm flux line. It was possible to obtain analytically the expression of the form factor at the origin for some specific systems: rectangular or circular billiard with Aharonov-Bohm flux line, triangular billiards with ''Veech property'', barrier billiards. The analytical results agree with numerics and support the existence of a statistical behaviour common to all intermediate systems. In order to obtain the whole expansion of the form factor the contribution of diffractive orbits must be taken into account. We use a semiclassical method which allows to resume all contributions of interactions between periodic and diffractive orbits, and obtain the analytical expansion of the form factor for a rectangular billiard with a scattering center. The distribution of the distance between nearest-neighbours is computed analytically for the same system; its asymptotic behaviour demonstrates that such a system shares features with both integrable and chaotic systems, thus verifying the conjecture for intermediate systems.