Etude géométrique de la dynamique de N tourbillons ponctuels sur une sphère

Geometric analysis of the dynamaics of N point vortices on a sphere

• Auteur / Autrice : Frédéric Laurent-Polz
• Direction : James Montaldi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématique
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sphère

Tourbillons (mécanique des fluides)

Résumé

Cette thèse étudie la dynamique d'un nombre arbitraire de tourbillons ponctuels à la surface d'une sphère. Le système dynamique correspondant est Hamiltonien et possède une symétrie SO(3). Suivant les vorticités des tourbillons, le système peut posséder des symétries supplémentaires. On considère alors N tourbillons dont les vorticités sont soit identiques, soit opposées. On utilise les résultats récents de la Mécanique Géométrique pour démontrer l'existence d'équilibres relatifs et étudier leur stabilité. La méthode utilisée s'appuie sur le fait que certaines symétries de l'Hamiltonien ne sont pas des symétries du champ de vecteur. Les résultats sont obtenus pour un nombre arbitraire de tourbillons, et les résultats d'existence sont de plus valables pour des systèmes Hamiltonien possédant les mêmes symétries. Nous mettons de plus en évidence des bifurcations pitchfork et Hamiltonian-Hopf entre certains équilibres relatifs. Nous donnons ensuite une méthode pour déterminer des orbites périodiques relatives, méthode dont nous montrons l'efficacité en l'appliquant au problème des tourbillons ponctuels. Nous perturbons ensuite le système original en considérant tout d'abord des tourbillons alpha-Euler, puis en étudiant la dynamique des tourbillons ponctuels sur une sphère en rotation. Nous montrons que certains équilibres relatifs du système original persistent lors de ces deux perturbations. Cette dernière perturbation présente un intérêt géophysique, et le lien est fait avec la circulation des masses d'air dans l'hémisphère Sud.

This thesis study the dynamics of an arbitrary number of point vortices on a sphere. The corresponding dynamical system is Hamiltonian and has a rotational symmetry. Depending of the vorticities of the vortex, the system can have additional symmetries. We then consider N vortex with vorticities either identical or opposite. We use the recents results in Geometric Mechanics to prove the existence of relative equilibria and to determine their stability. We obtain results for an arbitrary number of vortices, moreover the existence results hold also for Hamiltonian system which have the same symmetries. We then give a method to determine relative periodic orbits, and apply it to our system. To end, we perturbe the original system studying first alpha-Euler vortices, and point vortices on a rotating sphere. We prove that some relative equilibria persist within this two perturbations. The second one is of geophysic interest, and we link our results with the meteorological observations on the Southern Hemisphere Circulation.