Etude théorique et numérique de problèmes hyperboliques non-linéaires : applications à la génération de maillages et au trafic routier

Theoretical and numerical study of non-linear hyperbolic problems : applications to mesh generation and to traffic flow

• Auteur / Autrice : Patrizia Bagnerini
• Direction : Michel Rascle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes multigrilles (analyse numérique)

Équations de Hamilton-Jacobi

Résumé

Cette thèse concerne l'étude théorique et numérique de certains problèmes hyperboliques non-linéaires et elle est composée principalement de trois parties. La première partie concerne des applications des équations d'Hamilton-Jacobi à la génération de maillages adaptatifs et à l'approximation des rayons. Le but est la génération de maillages anisotropes automatiquement raffinés dans des régions o\`u la solution numérique de l'EDP qu'on cherche à approcher au moyen de ce maillage a des variations rapides. Étant donnée une première approximation z de la solution, l'idée est de générer des maillages adaptatifs en résolvant une équation Eikonale sur le graphe de z, équipé d'une métrique Riemannienne convenable. On propose ensuite un algorithme de génération de maillages adaptatifs de type Delaunay, où les sommets destinés à être triangulés sont placés sur les courbes de niveau de la solution de viscosité de l'équation eikonale stationnaire. On propose de plus un schéma pour calculer la solution de l'équation eikonale sur un maillage triangulaire et pour approcher les courbes caractéristiques correspondantes de façon eulerienne. Dans la deuxième partie on introduit un nouveau modèle hyperbolique homogénéisé pour le trafic routier multiclasse. On discrétise le modèle avec un schéma de Godunov et on introduit un scaling en faisant tendre le pas de discrétisation vers 0. Les variables (w,a) qui décrivent la non homogénéité des réactions des couples conducteurs-vehicules dans le trafic développent des oscillations. On est donc ramené à étudier un système homogénéisé dont on montre l'existence et l'unicité de la solution entropique. On prouve enfin que le modèle macroscopique introduit est la limite hydrodinamique pour ightarrow 0 du modèle microscopique multiclasse ``Follow-the-Leader'' et on montre des simulations numériques. Dans la troisième partie on étudie un modèle d'écoulement diphasique dans le but de définir une classe de systèmes de relaxation bien adaptées au système. Bien que le système est conditionnellement hyperbolique, avec existence d'une zone d'ellipticité, on montre qu'on peut néanmoins associer à ce système, sous forme non conservative, un couple d'entropies de Lax convexes construit sur l'énergie totale du mélange.

This thesis, formed by three parts, presents a theoretical and numerical study of a few non-linear hyperbolic systems. The purpose of the first part is the applications of the Hamilton-Jacobi equations to mesh generation and to ray approximation. The aim is the generation of anisotropic meshes which are au\-to\-ma\-ti\-cally refined in regions where a previously computed approximation of the numerical solution of some PDE has large derivatives. The idea is to generate an adapted mesh by solving the Eikonal equation on the graph of z, equipped with a suitable Riemannian metric. We also propose a Delaunay mesh generation algorithm where the nodes of the adapted mesh are located at constant Riemannian distance on the level curves of the viscosity solution of the Riemannian Eikonal equation. Moreover, we introduce a scheme to compute the solution of the Eikonal equation on a triangular mesh and to approximate the corresponding characteristic curves in Eulerian way. In the second part we introduce a new homogenized hyperbolic multi-class traffic flow model which allows to take into account the behaviors of different type of vehicles and drivers. We discretize the Lagrangian system introduced with a Godunov scheme, and we let the mesh size h go to 0: the typical length of a vehicle and time vanish. Therefore, the variables (w,a) which describe the heterogeneity of the reactions of the different car-driver pairs in the traffic, develop large oscillations. We show that the velocity is the unique solution of a scalar conservation law, with variable coefficients, discontinuous in x. Finally, we prove that the same macroscopic homogenized model is also the hydrodynamic limit of the corresponding multi-class Follow-the-Leader model. In the third part we study a compressible two-phase flow model in order to define a class of relaxation schemes. Even if the system presents a region of ellipticity, we show that it is still possible to associate to the system, written under non conservative form, an entropy-flux couple.