Analyse des équations modélisant le mouvement des systèmes couplant des solides rigides et des fluides visqueux

• Auteur / Autrice : Takéo Takahashi
• Direction : Marius Tucsnak
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse numérique

Navier-Stokes, Équations de

Interaction fluide-structure

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le problème d'interaction entre un visqueux et un solide rigide. Ce dernier est entièrement entouré par le fluide et est soumis à des forces surfaciques qui s'écrivent à partir du tenseur de Cauchy. Nous modélisons le mouvement du fluide par les équations classiques de Navier-Stokes. Outre les difficultés inhérentes à ces équations, nous devons de plus les traiter ici sur un domaine variable et dépendant du mouvement de solide rigide et donc de la solution. Nous avons montré l'existence et l'unicité de solutions fortes de ce système lorsque le domaine du fluide est borné ou est le domaine extérieur au solide. A chaque fois, le problème a été étudié dans les cas bidimensionnel et tridimensionnel. Lorsque le système fluide-solide rigide est confiné dans un domaine borné, l'existence a été prouvée tant qu'il n'y a pas contact entre le solide rigide et le bord. Nous nous sommes aussi intéressés à l'approximation des équations modélisant le mouvement du système. Dans un premier temps, nous discrétisons la variable temporelle et nous démontrons, sous certaines conditions, la convergence du schéma. Nous discrétisons ensuite complètement le système, en utilisant des éléments finis sur un maillage fixe. Cette méthode est illustrée par des tests numériques.

In this thesis, we study the interaction between a viscous fluid and a rigid body. The latter is completely surrounded by the fluid and is subject to contact forces which are written with the Cauchy tensor. The classical Navier-Stokes equations are used to model the motion of the fluid. In addition to the inherent difficulties in these equations, we have, moreover, to deal with them in a variable domain which depends on the motion of the rigig body and thus, on the solution. We have showed existence and uniqueness of strong solutions of this system when the domain of the fluid is either bounded or the exterior of the rigid body. In both cases, the problem was studied in the two dimensional and three dimensional cases. In the case when the system fluid-rigid body is enclosed in a bounded domain, the existence was proved provided there is no contact between the rigid body and the boundary. We have also been interested in the approximation of the equations modelling the motion of the system. Fisrt, we have discretized in time our problem and we have proved, under some conditions, the convergence of the scheme. We have then discretized completely the system by using finite elements on a fixed mesh. This method is illustrated by some numerical tests.