Codes Cortex et construction de codes auto-duaux optimaux

Cortex codes and construction of optimal self-dual codes

• Auteur / Autrice : Ayoub Otmani
• Direction : Thierry Berger, Philippe Gaborit
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et ses applications
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Mots clés libres

Auto-dual

Optimal

Groupe

Quasi-cyclique

Décodage itératif

Treillis cyclique

Résumé

Nous étudions une famille de codes correcteurs d'erreurs nommés codes CORTEX. La construction repose sur l'utilisation de codes de base de petites longueurs de rendement 1/2 assemblés en couches entre lesquelles sont insérées des permutations. Il est prouvé que l'auto-dualité est conservée par cette construction. De plus, les codes CORTEX construits à partir du code de Hamming étendu de longueur 8 sont de type I (resp. Type II) si le nombre de permutations est impair (resp. Pair). Cette thèse consiste en l'étude de cette famille de codes afin de fournir une construction effective de codes optimaux. Nous montrons ainsi que tous les codes de type II peuvent être construits sous cette forme si le code de base considéré est le code de Hamming étendu de longueur 8. Nous exhibons un exemple qui prouve que cette propriété n'est pas vraie dans le cas des codes de type I. Nous montrons que les codes CORTEX sont des codes quasi-cycliques si les permutations choisies sont des transformations affines. Nous nous intéressons ensuite à la représentation sous forme de graphes de Tanner des codes CORTEX. En se restreignant à la classe des graphes de Tanner à lacets, nous montrons qu'il est possible de construire un treillis à 16 états pour le code de Golay binaire, un treillis minimal à 9 états pour le code de Golay ternaire et un treillis à 256 états pour un code auto-dual sur Z4 de paramètres (24,4[12],12) pour la distance de Lee. Enfin, nous proposons une généralisation de cette construction à des codes de tout rendement. Nous montrons numériquement qu'il est possible de construire plusieurs codes auto-duaux optimaux spécialement à des longueurs où les constructions classiques n'en fournissent pas. Certains des codes ainsi construits répondent à des questions ouvertes comme celle de la construction du premier code auto-dual ternaire de paramètres [52,26,15].

We study a family of error-correcting codes called CORTEX. The construction is based on the use of 1/2-block basis codes assembled in layers between which are inserted permutations. It has been proved that self-duality is conserved under this construction. Moreover, CORTEX codes build from the extended Hamming code of length 8 are of type I (resp. Of type II) if the number of permutations is odd (resp. Even). This thesis represents a study of this family in order to build effectively optimal codes. We prove that any type II code can be seen as a CORTEX code if the basis code is the extended Hamming code of length 8. We present an example showing that this property is not true in the case of type I codes. We also show that CORTEX codes are quasi-cyclic codes if one chooses affine transformations. We are then interested in the representation of CORTEX codes in the form of Tanner graphs. On focusing on the class of Necklace Tanner graphs, we show that is possible to obtain a 16-state tail-biting trellis for the binary Golay code, a minimal 9-state tail-biting trellis for the ternary Golay code and a 256-state tail-biting trellis for a (24,4[12],12) self-dual code over Z4 for the Lee metric. Lastly, we generalize the construction to codes of any rate. We numerically show that is possible to build many optimal self-dual codes especially at lengths where classical constructions do not provide any. Some codes built that way solve open problems such as the construction of the first [52,26,15] ternary self-dual code.