Méthodes de Krylov par blocs pour les équations matricielles en théorie du contrôle

Block Krylov methods for matrix equations in control theory

• Auteur / Autrice : Alain-Jérôme Riquet
• Direction : Hassane Sadok, Khalid Jbilou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Littoral
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais)
• Jury : Président / Présidente : Marc Prévost
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Van Dooren
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Claude Brezinski, Youcef Saad

Mots clés

Mots clés contrôlés

Liapounov, Fonctions de

Valeurs propres

Mots clés libres

Sous-espaces de Krylov par blocs

Système d'ordre réduit (Mathématiques)

Equations de Sylvester

Equations de Lyapunov

Résumé

Dans cette thèse, nous explorons certaines méthodes pour résoudre des problèmes numériques de grande taille. Ces techniques sont basées sur des processus de projection sur des sous-espaces. Nous étudions différentes méthodes de projection sur les sous-espaces de Krylov par blocs pour certaines équations matricielles de grande taille. Dans le premier chapître, nous propososns des méthodes des sous-espaces de Krylov par blocs pour résoudre les équations matricielles de Sylvester. Les méthodes proposées sont basées sur les algorithmes d'Arnoldi par blocs, du GMRES par blocs et de Lanczos par blocs. Nous donnons certains résultats théoriques et des expériences numériques pour comparer les performances des différentes méthodes. Dans le second chapître, nous proposons une nouvelle méthode des sous-espaces de Krylov pour résoudre les équations matricielles de Lyapunov de grande taille. Les méthodes proposées sont basées sur le processus Global-Arnoldi. Nous donnons une nouvelle expression de la solution et nous montrons comment extraire des solutions approximatives de rang réduit pour les équations matricielles de Lyapunov. Nous détaillons aussi certains résultats théoriques. Nous montrons comment les techniques des sous-espaces de Krylov considérées précédemment pauvent être appliquées aux équations de Lyapunov discrètes. Nous donnons l'algorithme de Stein Global-Arnoldi utilisant un redémarrage. Dans le troisième chapître, nous donnons une nouvelle méthode des sous-espaces de Krylov par blocs qui permet d'obtenir une approximation d'un système d'ordre réduit. Les propriétés théoriques de cette méthode sont examinées en détail. Nous considérons une méthode de redémarrage implicite qui peut être utilisée pour tenter d'améliorer la convergence. Nous donnons des résultats expérimentaux. Dans le quatrième chapître, nous décrivons un algorithme basé sur la procédure de Lanczos par blocs pour calculer certaines valeurs propres. Nous présentons des comparaisons théoriques entre les procédures d'Arnoldi par blocs et Lanczos par blocs pour obtenir les valeurs propres de matrices de grande dimension. Nous proposons la méthode de Chebyshev-Lanczos par blocs pour résoudre les problèmes non symétriques de valeur propres. Le comportement de cet algorithme est illustré par des exemples numériques.

In this thesis, we explore some methods for solving large numerical problems. These techniques are based on projection processes onto subspaces. We study different projection methods on block krylov subspaces for some large matrix equations. In the first chapter, we propose block Krylov subspace methods for solving Sylvester matrix equations. The proposed methods are based on block Arnoldi, block GMRES and nonsymmetric block Lanczos algorithms. We give some theorical results and numerical experiments to compare the performance of the different methods. In a second chapter, we propose a new Krylov subspace method for solving large Lyapunov matrix equations. The proposed methods are based on the Global-Arnoldi process. We give a new expression of the solution and show how to extract low rank approximate solutions to the Lyapunov matrix equation. We detail also some theorical results. We show how the Krylov subspaces techniques considered above can be applied to the discrete-time Lyapunov equation. We give the Stein-Arnoldi algorithm is a restarted mode. In the third chapter, we give a new block Krylov subspace method to a longe dynamical system by a reduced-order one. The theorical properties of this method are investigated, and a new expression of the Frobenius norm of the approximate residu is derived. We consider an implicity restarted method that can be used to accelerate the convergence speed. We also give experimental results. In the fourth chapter, we describe an algorithm based on the block Lanczos procedure for computing some eigenvalues. We present comparaisons between block Arnoldi and Lanczos procedures for computing eigenvalues of large matrices. We propose the block Chebyshev-Lanczos method for solving nonsymmetric eigenvalues problems. The behavior of this algorithm is illustrated by numerical examples.