On certain problems of arbitrage theory in discrete time financial market models

• Auteur / Autrice : Miklós Rásonyi
• Direction : Youri Kabanov, László Gerencsér
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Besançon en cotutelle avec Eötvös Loránd tudományegyetem (Budapest)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbitrage (bourse)

Martingales (mathématiques)

Résumé

Cette thèse traite la question suivante, qui est fondamentale dans la théorie des marchés financiers : ''Étant donnée une classe de modèles de marché, quelle est la condition nécessaire et/ou suffisante de l'absence d'arbitrage?'' Tout d'abord nous rappelons le '' Théorème Fondamental de la Valorisation des Actifs'' dans un modèle en temps discret avec un nombre fini d'actifs et un horizon de temps fini. Ce théorème dit que l'absence d'arbitrage est équivalente à l'existence d'une mesure de martingale équivalente pour le processus de prix. En utilisant ces mesures de martingale on peut exprimer le coût de surréplication d'un actif contingent. Nous démontrons que l'ensemble des mesures de martingale équivalentes avec des densités bornées est dense dans la famille de toutes les mesures de martingale pour la topologie de la norme de variation totale. Ensuite nous introduisons des modèles de marché de devises avec des coûts de transaction proportionels. Nous définissons la notion d'arbitrage dans cette nouvelle classe de modèles, et nous montrons que l'absence d'arbitrage est équivalente à l'existence de certaines martingales ''duales''. Nous donnons la caractérisation des investissements qui permet- tent de surrépliquer un actif contingent donné. La troisième partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'arbitrage asymptotique dans de grands marchés financiers. Après les définitions et une revue des résultats connus nous présentons la condition ''no asymptotic free lunch''. Nous prouvons qu'elle est équivalente à l'existence de mesures de martingale dans un certain sens fort. Afin d'illustrer la pertinence de cette condition nous réétudions le classique ''Modèle de Valorisation par Arbitrage'' avec des variables aléatoires stables. Nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence d'une mesure de martingale équivalente.