Thèse soutenue

Linéarisation et relaxation lagrangienne pour problèmes quadratiques en variables binaires
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Auteur / Autrice : Serigne Abdoulaye Gueye
Direction : Philippe Michelon
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance en 2002
Etablissement(s) : Avignon

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Un problème quadratique en variables binaires est un problème d'optimisation en variables binaires consistant à minimiser une fonction objectif quadratique sous des contraintes linéaires. Dans le cas général, c'est un problème dificile à résoudre de manière exacte (NP- difficile), trouvant de nombreuses applications pratiques. La résolution exacte du problème passe par la détermination de bornes inférieures qu'il convient d'intégrer dans des schémas de séparation et évaluation progressive (ou Branch-and-Bound). Plusieurs techniques, allant de la programmation semi-définie positive à l'optimisation globale, sont utilisées pour déterminer ces bornes. Nous nous sommes particulièrement intéressés aux méthodes lagrangiennes et aux techniques de linéarisation. Nous avons traité dans cette thèse deux instances particulières du problème : "la bipolarisation de graphes avec contrainte de cardinalité" et "le problème quadratique en variables binaires sans contrainte". Pour la bipartition de graphes, nous avons proposé une démarche hybride mêlant relaxation lagrangienne et linéarisation de problème. Les tests numériques, issus de l'algorithme résultant, ont montré des améliorations significatives par rapport à certaines techniques existantes. Pour le problème quadratique en variables binaires sans contrainte, des études sur les techniques de linéarisation ont été effectuées. Elles consistent à remplacer la fonction objectif quadratique par une forme linéaire, grâce à l'ajout de variables permettant de remplacer les parties quadratiques de la fonction. L'ajout de ces variables entraînent [sic] aussi l'ajout de contraintes visant à s'assurer de la validité du remplacement. Après étude et tests des linéarisations existantes, nous unifions ces techniques dans un schéma général de linéarisation. De nouveaux modèles ont, grâce à ce schéma , vu le jour et améliorent significativement les résultats numériques des formulations linéaires précédentes