Equations de Navier-Stokes dans l'espace : espaces critiques et solutions d'énergie finie

Navier-Stokes equations in the space : critical spaces and solutions of finite energy

• Auteur / Autrice : Sandrine Dubois
• Direction : Pascal Auscher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Amiens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Navier-Stokes, Équations de

Résumé

On étudie dans ce mémoire quelques aspects qualitatifs des équations de Navier-Stokes incompressibles dans tout l'espace et en l'absence de force extérieure : comportement asymptotique, égalités d'énergie, régularité, stabilité. La vaste littérature disponible sur le sujet propose de multiples formes de ces équations. Dans le premier chapitre, on considère six formulations parmi les plus courantes des équations de Navier-Stokes ainsi que les solutions qui leur sont associées. On montre que sous une hypothèse de régularité raisonnable sur les solutions, les six problèmes sont en fait équivalents. Cela permet ensuite de choisir la forme la plus adaptée à une question donnée. Dans l'ensemble des travaux portant sur les équations de Navier-Stokes, on peut distinguer deux grandes approches. D'une part, les solutions d'énergie finie, construites par Leray en 1934. D'autre part les solutions critiques, c'est-à-dire présentant une invariance d'échelle, dont le premier exemple est donné par Kato et Fujita en 1962. Le deuxième chapitre s'inscrit dans cette seconde approche. On montre que l'ensemble des données initiales donnant lieu à une solution globale (nécessairement unique) dans la classe de Koch et Tataru, ayant de bonnes propriétés, est ouvert dans la fermeture de la classe de Schwartz dans BMO-1 et que la solution associée s'évanouit à l'infini. Les deux approches, solutions d'énergie finie et solutions critiques, peuvent paraître totalement disjointes. L'objet des deux derniers chapitre est de concilier ces deux approches. Dans le chapitre 3, on formalise les méthodes d'unicité fort-faible, qui remontent aux travaux de Leray, pour déterminer quand une solution d'énergie finie (solution faible) est nécessairement critique. On a besoin en général de l'existence d'une solution d'énergie finie critique (solution forte) et d'une bonne estimation du terme trilinéaire où intervient le terme de convection. L'idée du chapitre 4 est moins classique. Il s'agit de donner des conditions suffisantes pour qu'une solution critique issue d'une donnée initiale de carré intégrable vérifie les égalités d'énergie et donc, soit d'énergie finie