Formules des traces semi-classique au niveau d'une énergie critique

Semi-classical trace formula in the case of a critical energy level

• Auteur / Autrice : Brice Camus
• Direction : Raymond Brummelhuis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Reims
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Reims Champagne-Ardenne. UFR des sciences exactes et naturelles

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Intégrales singulières

Formules de trace

Analyse semiclassique

Résumé

Nous étudions la formule des traces semi-classique au niveau d'une énergie critique pour un opérateur h-pseudo-différentie sur{R}{̂n} dont le symbole principal admet un unique point critique non-dégénéré. En particulier on considérera les cas où la matrice hessienne du symbole principal est symplectiquement diagonalisable et, en général, non définie. Ceci nous conduira à l'étude de la géométrie des systèmes hamiltoniens classiques près de leurs points d'équilibre et au voisinage des périodes non nulles du flot linéarisé. Les contributions de ces périodes conduisent alors à reformuler le problème en terme d'intégrales oscillantes dégénérées. Les coefficients des termes principaux des nouvelles contributions sont exprimés en terme de la géométrie locale de la surface d'énergie et de la dynamique classique issue de celle-ci.

We study the semi-classical trace formula on the level of a critical energy for a h-pseudo-differential operator on {R}{̂n} with a unique non-degenerate critical point of the principal symbol. In particular we consider the case where the hessian matrix of the principal symbol at the critical point is non-definite. This lead to the study of Hamiltonan systems near equilibrium and near the non zero periods of the linearised flow. The contributions of these periods leads to reformulate the problem in term of degenerate oscillatory integrals. The new contributions are interpreted in term of the local geometry of the energy surface and the classical dynamic on this energy surface.