Certains foncteurs simples associes aux biensembles

• Auteur / Autrice : Ismaïl Bourizk
• Direction : Serge Bouc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Soit k un corps de caracteristique p positive. On considere des categories dont les objets sont certaines classes de p-groupes finis, et les morphismes certaines classes de biensembles k-virtuels, i. E des combinaisons lineaires a coefficients dans k de biensembles. La categorie des foncteurs k-lineaires d'une telle categorie vers la categorie des k-espaces vectoriels est abelienne, et on peut essayer de classifier et decrire ses objets simples ou ses objets projectifs. Dans la premiere partie, on decrira certains sous-foncteurs du foncteur de burnside, qui ont un unique quotient simple s q , k. On obtient ainsi certains facteurs de composition du foncteur de burnside, et comme corollaire des estimations de la dimension sur k des evaluations de ces foncteurs simples. Dans le cas ou l'on se restreint aux p-groupes abeliens, ces estimations sont des egalites : le resultat obtenu est meme un peu plus fort, puisque pour un p-groupe abelien g, on a des bases explicites des evaluations s q , k(g). Dans la seconde partie, on etudie le foncteur k r q, ou r q designe le foncteur des representations rationnelles. On propose a ce sujet deux conjectures : la premiere affirme que si p est impair, le foncteur k r q est uniseriel comme foncteur, les quotients successifs etant les foncteurs simples s q , k, ou q est un p-groupe cyclique d'ordre different de p. On demontre cette conjecture pour la restriction a la categorie des p-groupes abeliens. Cette premiere conjecture est fausse si p = 2, mais on propose dans ce cas une seconde conjecture, qui affirme qu'un sous-foncteur de k r q lie au groupe quaternion q 8 est uniseriel comme foncteur, les quotients successifs etant les foncteurs s q 2 n , k, pour n 3. On demontre cette conjecture pour la restriction du foncteur considere a une classe particuliere de 2-groupes finis.