Nouveaux aspects probalististes et topologiques de systeme dynamiques chaotiques, ergodiques et integrables

• Auteur / Autrice : MATHIEU BERNARDO
• Direction : Tuong Trong Truong
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

L'objet de cette these est d'aborder des themes originaux des systemes dynamiques discrets. Dans la lignee de l'ecole sovietique, nous avons fait le lien entre diverses notions d'entropies et les aspects topologiques ou probabilistes de certains de ces systemes. Ainsi cette these comporte trois parties independantes qui s'articulent autour de trois articles publies ou soumis. La premiere partie aborde la convergence en loi d'une marche aleatoire generee par une famille de transformations du plan, parametres par une constante b et presentant diverses proprietes. De k-s entropie nulle, elle engendre un processus a partir de deux variables aleatoires deux a deux independantes et identiquement distribuees sur le cercle. On montre alors pour cet exemple que l'existence d'un theoreme de la limite centrale ne peut se verifier que pour des valeurs de b admettant un developpement en fraction continue borne. En seconde partie, on s'est interesse a caracteriser le chaos spatio-temporel pour des systemes infiniment etendus. Limite a la classe des automates cellulaires permutatifs, notre etude montre que l'entropie directionnelle, definie par continuite, dans les directions irrationnelles se reduit, dans les cas favorables, au calcul du rayon spectral d'une matrice de transition finie. Dans les cas defavorables, on se limite a fournir un intervalle de valeurs. Enfin, la derniere partie est consacree a l'etude de l'integrabilite de transformations birationnelles. D'entropie algebrique nulle, la transformation discrete de painleve 1 nous fournit un exemple ou la conjecture conditionnant l'existence d'un invariant a la nullite de l'entropie algebrique se verifie. Ainsi, on argumente a partir du theoreme kam et de la notion de confinement des singularites que les tores invariants sont preserves dans le cas non-autonome. De nature transcendantale, cet invariant converge (aux grands temps) vers une solution elliptique dont nous donnons un developpement au premier ordre en 1/t.