One periodic Bryant surfaces and rigidity for generalized polyhedra

par Pedro Roitman

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Harold William Rosenberg.

Soutenue en 2001

à Paris 7 .

mots clés

• Polyèdres

Titre traduit

Surfaces de bryant 1-periodiques et rigidite pour les polyedres generalisees

Résumé

Dans la premiere partie de ce travail, nous nous interessons a des surfaces de bryant, i. E. Des surfaces a courbure moyenne egale a un dans l'espace hyperbolique, invariantes par l'action d'une translation parabolique, et nous les appelons surfaces de bryant 1-periodiques. Notre premier resultat est le suivante : topologie finie dans l'espace quotient implique courbure total finie dans l'espace quotient pour les surfaces de bryant 1-periodiques proprement plongees. Notre etude se poursuit par l'analyse du cas ou les surfaces de bryant 1-periodiques peuvent etre decrites comme etant des graphes verticaux sur un demi-plan dans le modele du demi-espace superieur. Nous montrons d'abord qu'un tel graphe reste dans une region bien determinee qui est bornee soit par deux horospheres soit par ce qu'on appelle des bouts regles (voir chapitre 3). Ensuite, nous montrons qu'un tel graphe a courbure total finie dans l'espace quotient. Dans la deuxieme partie, on considere des objets dans l'espace euclidien qui generalisent la notion de polyedre. Ce sont des objets pour lesquelles on peut definir une application de gauss. La difference essentielle etant que les faces de nos objets sont des polygones planaires, mais pas necessairement plongees. On montre que quelques resultats de rigidite, a la cauchy, valables pour les polyedres peuvent etre etendues a cette classe d'objets.

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