Tables de caractères pour les algèbres de Hopf

• Auteur / Autrice : ABDELHAFID EL ALAOUI
• Direction : Anthony Joseph
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

L'etude des algebres de hopf offre a la theorie des groupes son cadre naturel et l'etude abstraite permet de retrouver et d'approfondir, celle-ci. On rencontre ainsi, de facon naturelle de nombreux resultats dans la theorie des groupes qui se generalisent aux algebres de hopf. On peut donc developper toute une theorie unifiee, montrant ainsi le parallelisme des enonces dans ces deux theories qui est tout a fait remarquable, mais les methodes de demonstration sont en general differentes, et beaucoup plus delicates pour les algebres de hopf. De meme ce lien etroit entre la theorie des algebres de hopf et les groupes nous permet d'avoir des solutions de problemes dans les groupes, en eloignant ces derniers de leur aspect combinatoire et en expliquant maintes proprietes qui paraissent fortuites ; et ceci, grace a la structure duale. Ces invariants numeriques qu'on appelle table de caracteres, peuvent etre interpretes comme une matrice de passages entre les idempotents orthogonaux minimaux du centre de kg et la base b = g,c j gj du centre de kg, avec les c j designant les classes de conjugaison de g. Cependant dans le cas d'une algebre de hopf semi-simple cette interpretation parait moins precise car la notion des classes de conjugaison n'apparait pas d'une facon naturelle, ainsi pour esquisser cette difficulte, a. Joseph a suggere une definition elegante, utilisant la theorie des representations et plus precisemment les d(h)-modules ou d(h) designe le double de drinfeld de h. Ainsi, on pourra definir la table de caracteres, par la connaissance des d(h)-modules simples de h, plus precisemment en utilisant les actions de d(h) sur h.