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Thèse soutenue

Étude probabiliste des équations de SmoluchowskiSchéma d'Euler pour des fonctionnellesAmplitude du mouvement brownien avec dérive

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Auteur / Autrice : Etienne Tanré
Direction : Pierre Vallois, Bernard Roynette
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2001
Etablissement(s) : Nancy 1
Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Résumé

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Cette thèse est composée de trois parties indépendantes. La première partie est une étude probabiliste des équations de coagulation de Smoluchowski. Une représentation des solutions est établie grâce à des processus de branchement de type Galton-Watson. On montre par ailleurs une correspondance entre les noyaux additif et multiplicatif. Le comportement asymptotique des solutions après renormalisation est également étudié. Enfin, on construit un processus, solution d'une E. D. S. Non-linéaire gouvernée par un processus de Poisson, dont les marginales temporelles sont solutions des équations de Smoluchowski. Ce processus permet d'obtenir des approximations au moyen d'un système de particules. Dans la deuxième partie, nous estimons l'erreur commise en remplaçant une diffusion régulière par son approximation obtenue avec le schéma d'Euler pour calculer l'espérance de certaines fonctionnelles irrégulières de la trajectoire de cette diffusion. Nous obtenons notamment la vitesse optimale de convergence dans le cas de l'intégrale d'une fonction seulement mesurable et bornée de la trajectoire. Dans la troisième partie, nous étudions le processus de l'amplitude d'un mouvement brownien avec dérive non nulle. Nous donnons une décomposition des trajectoires en utilisant les extremums successifs en remontant le temps. Les résultats sont obtenus notamment à l'aide de techniques de grossissements de filtrations.