Sur les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie rigides

On the envelopping algebras of rigid Lie algebra.

• Auteur / Autrice : Toukaiddine Petit
• Direction : Michel Goze
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Mulhouse

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie

Algèbres enveloppantes universelles

Résumé

Ce travail concerne deux aspects des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie rigides. Le premier est d'ordre topologique. On étudie la déformation de la structure de l'algèbre enveloppante U(g) d'une algèbre de Lie g. En particulier, on s'intéresse à la rigidité des algèbres enveloppantes en tant qu'algèbres associatives. On démontre que la rigidité de l'algèbre de Lie est une condition nécessaire mais non suffisante pour la rigidité de l'algèbre enveloppante. En utilisant le théorème de formalité de Kontsevitsch, on montre que toute déformation polynômiale non triviale de la structure de Poisson linéaire d'une algèbre de Lie induit une déformation non triviale de son algèbre enveloppante. On établit une classification en petites dimensions des algèbres de Lie fortement rigides (g est rigide et U(g) est rigide). Le deuxième aspect concerne la théorie de la représentation de ces algèbres. On calcule l'indice d'une sous-algèbre de Lie de Borel b d'une algèbre de Lie semi-simple et on montre également qu'il existe une famille d'orbites coadjointes (OA)A de dimension maximale de b*duai de b telle que l' idéal gradué gr(I(O. Z'' à l'idéal primitif I(OÂ) associé à OÀ est premier. On donne ensuite une version coadjointe du théorème de Richardson.